問題は以下の3つの部分に分かれています。 (1) 式 $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)$ を展開し、$x^4 + \text{アイ}x^3 + \text{ウエ}x^2 + \text{オカ}x + \text{キク}$ の形で表す。 (2) 式 $xy + 5x + 2x^2 + 3y - 3$ を因数分解し、$(x + \text{ケ})( \text{コ}x + y - \text{サ})$ の形で表す。 (3) $x = \frac{2}{\sqrt{5} - 2}$、$y = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2}$ のとき、$x + y = \text{シ}$、$xy = \text{ス}\sqrt{\text{セ}}$を求める。 (4) 不等式 $\frac{x+2}{5} + 2 > x + \frac{4}{3}$ の解を、選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分に分かれています。

(1) 式 $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)$ を展開し、$x^4 + \text{アイ}x^3 + \text{ウエ}x^2 + \text{オカ}x + \text{キク}$ の形で表す。

(2) 式 $xy + 5x + 2x^2 + 3y - 3$ を因数分解し、$(x + \text{ケ})( \text{コ}x + y - \text{サ})$ の形で表す。

(3) $x = \frac{2}{\sqrt{5} - 2}$、$y = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2}$ のとき、$x + y = \text{シ}$、$xy = \text{ス}\sqrt{\text{セ}}$を求める。

(4) 不等式 $\frac{x+2}{5} + 2 > x + \frac{4}{3}$ の解を、選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)$ を展開する。

$(x+1)(x+5) = x^2 + 6x + 5$

$(x+2)(x+4) = x^2 + 6x + 8$

$(x^2 + 6x + 5)(x^2 + 6x + 8) = (x^2 + 6x)^2 + 13(x^2 + 6x) + 40 = x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 13x^2 + 78x + 40 = x^4 + 12x^3 + 49x^2 + 78x + 40$

(2) $xy + 5x + 2x^2 + 3y - 3$を因数分解する。

$2x^2 + xy + 5x + 3y - 3 = x(2x+y+5) + 3y - 3$ は少し複雑な形なので、与えられた形に合うように変形を試みる。

$(x + A)(2x + y + B) = 2x^2 + xy + Bx + 2Ax + Ay + AB = 2x^2 + xy + (B+2A)x + Ay + AB$

$B+2A = 5$

$A = 3$

$AB = -3$

$2x^2 + xy + 5x + 3y -3 = (x + 3)(2x+y - 1)$.

(3)

$x = \frac{2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{5 - 4} = 2\sqrt{5} + 4$

$y = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{5 - 2\sqrt{5}}{5 - 4} = 5 - 2\sqrt{5}$

$x + y = 2\sqrt{5} + 4 + 5 - 2\sqrt{5} = 9$

$xy = (2\sqrt{5} + 4)(5 - 2\sqrt{5}) = 10\sqrt{5} - 20 + 20 - 8\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

(4)

$\frac{x+2}{5} + 2 > x + \frac{4}{3}$

$\frac{x+2}{5} - x > \frac{4}{3} - 2$

$\frac{x+2-5x}{5} > \frac{4-6}{3}$

$\frac{-4x+2}{5} > \frac{-2}{3}$

$3(-4x+2) > 5(-2)$

$-12x + 6 > -10$

$-12x > -16$

$x < \frac{-16}{-12} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) アイ: 12, ウエ: 49, オカ: 78, キク: 40

(2) ケ: 3, コ: 2, サ: 1

(3) シ: 9, ス: 2, セ: 5

(4) ソ: 2