2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が 0 になることです。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (m+2)^2 - 4(m+5)$

次に、$D = 0$ となる $m$ の値を求めます。

$(m+2)^2 - 4(m+5) = 0$

$m^2 + 4m + 4 - 4m - 20 = 0$

$m^2 - 16 = 0$

$(m-4)(m+4) = 0$

$m = 4, -4$

$m = 4$ のとき、2次方程式は $x^2 + 6x + 9 = 0$ となり、

$(x+3)^2 = 0$ より、重解は $x = -3$ です。

$m = -4$ のとき、2次方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となり、

$(x-1)^2 = 0$ より、重解は $x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$m = 4$ のとき、重解は $x = -3$

$m = -4$ のとき、重解は $x = 1$