複素数 $a = \frac{\sqrt{3} + 9i}{5 + \sqrt{3}i}$ が与えられたとき、 (1) $a$ を極形式で表す。 (2) $a^n$ が実数となる最小の正の整数 $n$ を求める。

1. 問題の内容

複素数 $a = \frac{\sqrt{3} + 9i}{5 + \sqrt{3}i}$ が与えられたとき、

(1) $a$ を極形式で表す。

(2) $a^n$ が実数となる最小の正の整数 $n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a$ を極形式で表す。まず、$a$ を計算して簡単にする。

$a = \frac{\sqrt{3} + 9i}{5 + \sqrt{3}i} = \frac{(\sqrt{3} + 9i)(5 - \sqrt{3}i)}{(5 + \sqrt{3}i)(5 - \sqrt{3}i)} = \frac{5\sqrt{3} - 3i + 45i - 9\sqrt{3}i^2}{25 - 3i^2} = \frac{5\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + (45 - 3)i}{25 + 3} = \frac{14\sqrt{3} + 42i}{28} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$

次に、この複素数の絶対値 $r$ と偏角 $\theta$ を求める。

$r = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

$\sin{\theta} = \frac{3/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

よって、$a = \sqrt{3}(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$

(2) $a^n$ が実数となる最小の正の整数 $n$ を求める。

ド・モアブルの定理より、

$a^n = (\sqrt{3})^n (\cos{\frac{n\pi}{3}} + i\sin{\frac{n\pi}{3}})$

$a^n$ が実数となるためには、$\sin{\frac{n\pi}{3}} = 0$ となれば良い。

$\frac{n\pi}{3} = k\pi$ (kは整数)

$n = 3k$

最小の正の整数 $n$ は $k=1$ のときなので、$n=3$

3. 最終的な答え

(1) $a = \sqrt{3}(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$

(2) $n=3$