問題5: 2次関数 $y = x^2 + (k+4)x + 4k$ のグラフが $x$ 軸に接するとき、定数 $k$ の値を求める。 問題6(1): 2次不等式 $x^2 - 6x + 4 < 0$ の解を求める。 問題6(2): 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 < 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

問題5: 2次関数 $y = x^2 + (k+4)x + 4k$ のグラフが $x$ 軸に接するとき、定数 $k$ の値を求める。

問題6(1): 2次不等式 $x^2 - 6x + 4 < 0$ の解を求める。

問題6(2): 2次不等式 $x^2 - 6x + 9 < 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

問題5:

2次関数のグラフが $x$ 軸に接するとき、判別式 $D = 0$ となる。

$D = (k+4)^2 - 4(1)(4k) = k^2 + 8k + 16 - 16k = k^2 - 8k + 16 = (k-4)^2$

$D = 0$ より、 $(k-4)^2 = 0$。

したがって、$k = 4$。

問題6(1):

2次不等式 $x^2 - 6x + 4 < 0$ を解く。

まず、$x^2 - 6x + 4 = 0$ の解を求める。

解の公式より、$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5}$。

したがって、$3 - \sqrt{5} < x < 3 + \sqrt{5}$。

問題6(2):

2次不等式 $x^2 - 6x + 9 < 0$ を解く。

$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ であるから、$(x - 3)^2 < 0$ を解く。

$(x - 3)^2$ は常に0以上なので、$(x - 3)^2 < 0$ を満たす $x$ は存在しない。

したがって、解はない。

3. 最終的な答え

問題5: ⑤

問題6(1): ③

問題6(2): ④