2次不等式 $3x^2 - 11x + 10 > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

2次不等式 $3x^2 - 11x + 10 > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $3x^2 - 11x + 10 = 0$ の解を求めます。

左辺を因数分解します。

$3x^2 - 11x + 10 = (3x - 5)(x - 2) = 0$

よって、$x = \frac{5}{3}$ または $x = 2$ です。

次に、数直線上に $\frac{5}{3}$ と $2$ を書き込み、3つの区間に分けます。

(1) $x < \frac{5}{3}$

(2) $\frac{5}{3} < x < 2$

(3) $x > 2$

それぞれの区間で $3x^2 - 11x + 10$ の符号を調べます。

(1) $x < \frac{5}{3}$ のとき、例えば $x = 0$ を代入すると $3(0)^2 - 11(0) + 10 = 10 > 0$ となり正です。

(2) $\frac{5}{3} < x < 2$ のとき、例えば $x = \frac{3}{2}$ を代入すると $3(\frac{3}{2})^2 - 11(\frac{3}{2}) + 10 = \frac{27}{4} - \frac{33}{2} + 10 = \frac{27 - 66 + 40}{4} = \frac{1}{4} < 0$ となり負です。

(3) $x > 2$ のとき、例えば $x = 3$ を代入すると $3(3)^2 - 11(3) + 10 = 27 - 33 + 10 = 4 > 0$ となり正です。

不等式 $3x^2 - 11x + 10 > 0$ を満たすのは、$x < \frac{5}{3}$ または $x > 2$ のときです。

3. 最終的な答え

$x < \frac{5}{3}, x > 2$