与えられた式は $4 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 \log_2 2$ を計算して、その値を求める問題です。

代数学対数対数の性質計算
2025/7/14

1. 問題の内容

与えられた式は 4log23+log226log224 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 \log_2 2 を計算して、その値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、式を整理します。
4log23=log2(34)=log2814 \log_2 3 = \log_2 (3^4) = \log_2 81
log22=log2(21/2)=12log22=12\log_2 \sqrt{2} = \log_2 (2^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2}
6log22=6×1=66 \log_2 2 = 6 \times 1 = 6
したがって、与えられた式は次のように変形できます。
4log23+log226log22=log281+1264 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 \log_2 2 = \log_2 81 + \frac{1}{2} - 6
ここで、log281\log_2 81 はこれ以上簡単にできません。しかし、全体を log2\log_2 の形に書き換えることを考えます。
12=12log22=log221/2=log22\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log_2 2 = \log_2 2^{1/2} = \log_2 \sqrt{2}
6=6log22=log226=log2646 = 6 \log_2 2 = \log_2 2^6 = \log_2 64
与えられた式は、
log281+log22log264=log281264\log_2 81 + \log_2 \sqrt{2} - \log_2 64 = \log_2 \frac{81 \sqrt{2}}{64}
となります。
問題文の指示により、式を変形していくと、
4log23+log226log22=log234+log221/2log2264\log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6\log_2 2 = \log_2 3^4 + \log_2 2^{1/2} - \log_2 2^6
=log281+log22log264=log281264= \log_2 81 + \log_2 \sqrt{2} - \log_2 64 = \log_2 \frac{81\sqrt{2}}{64}
したがって、最終的な答えは log281264\log_2 \frac{81\sqrt{2}}{64} となります。
しかし、元の画像の問題は、選択肢の中から選ぶ形式であり、答えは整数になるはずです。
問題文を再度確認すると、4log23+log226log224 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 \log_2 2ではなく、4log23+log22+6log224 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} + 6 \log_2 2のようです。
この場合、
4log23+log22+6log22=log234+log221/2+log226=log281+log22+log2644 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} + 6 \log_2 2 = \log_2 3^4 + \log_2 2^{1/2} + \log_2 2^6 = \log_2 81 + \log_2 \sqrt{2} + \log_2 64
=log2(81×2×64)=log2(51842)= \log_2 (81 \times \sqrt{2} \times 64) = \log_2 (5184 \sqrt{2})
これでも整数にはなりません。おそらく問題文の数字が間違っています。
もし問題が 4log23+log2264 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 である場合、
4log23+log226=log281+126=log2811124 \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 = \log_2 81 + \frac{1}{2} - 6 = \log_2 81 - \frac{11}{2}
=log281112log22=log281log2211/2=log281211/2=log281322=log281264=\log_2 81 - \frac{11}{2} \log_2 2 = \log_2 81 - \log_2 2^{11/2} = \log_2 \frac{81}{2^{11/2}} = \log_2 \frac{81}{32\sqrt{2}} = \log_2 \frac{81\sqrt{2}}{64}
となり、やはり整数にはなりません。
もし4+log23+log226log224 + \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 \log_2 2だった場合
4+log23+log226log22=4+log23+log221/2log226=4+log23+126=log2332+4=log23+52=log23+52log22=log23+log225/2=log2(3×25/2)=log2(3×42)=log2(122)4 + \log_2 3 + \log_2 \sqrt{2} - 6 \log_2 2 = 4 + \log_2 3 + \log_2 2^{1/2} - \log_2 2^6 = 4 + \log_2 3 + \frac{1}{2} - 6 = \log_2 3 - \frac{3}{2} + 4 = \log_2 3 + \frac{5}{2} = \log_2 3 + \frac{5}{2} \log_2 2 = \log_2 3 + \log_2 2^{5/2} = \log_2 (3 \times 2^{5/2}) = \log_2 (3 \times 4 \sqrt{2}) = \log_2 (12\sqrt{2})

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性があります。現状の式を正しく解釈した場合の答えは log281264\log_2 \frac{81\sqrt{2}}{64}です。

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