全ての実数 $x$ について、不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \ge 0$ が成り立つような、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

全ての実数 $x$ について、不等式 $(a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3 \ge 0$ が成り立つような、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、2次不等式が常に成り立つ条件を求める問題です。

まず、$a-1=0$、つまり $a=1$ の場合を考えます。このとき、与えられた不等式は $3 \ge 0$ となり、これは常に成り立ちます。

次に、$a-1 > 0$、つまり $a > 1$ の場合を考えます。このとき、2次関数 $y = (a-1)x^2 - 2(a-1)x + 3$ は下に凸の放物線となります。不等式が常に成り立つためには、この放物線が $x$ 軸に接するか、または $x$ 軸より上にある必要があります。つまり、判別式 $D$ が $D \le 0$ を満たす必要があります。

判別式 $D$ は、

$D = (-2(a-1))^2 - 4(a-1)(3) = 4(a-1)^2 - 12(a-1) = 4(a-1)(a-1-3) = 4(a-1)(a-4)$

$D \le 0$ となるためには、$(a-1)(a-4) \le 0$ である必要があり、これを解くと $1 \le a \le 4$ となります。

$a > 1$ という条件と合わせると、$1 < a \le 4$ となります。

最後に、$a=1$ の場合も考慮すると、$1 \le a \le 4$ となります。

3. 最終的な答え

$1 \le a \le 4$