放物線を$y$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に-2、$y$軸方向に1だけ平行移動した結果、$y = x^2 + 6x + 10$ となった。元の放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線を$y$軸に関して対称移動し、さらに$x$軸方向に-2、$y$軸方向に1だけ平行移動した結果、$y = x^2 + 6x + 10$ となった。元の放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動の逆変換：

$y = x^2 + 6x + 10$ を、$x$軸方向に2、$y$軸方向に-1だけ平行移動する。平行移動の逆変換は、

$x$ を $x-2$ に、 $y$ を $y+1$ に置き換えることで行えます。

$y+1 = (x-2)^2 + 6(x-2) + 10$

$y = (x^2 - 4x + 4) + (6x - 12) + 10 - 1$

$y = x^2 + 2x + 1$

(2) $y$軸に関する対称移動の逆変換：

$y = x^2 + 2x + 1$ を、$y$軸に関して対称移動する。$y$軸に関する対称移動は、$x$ を $-x$ に置き換えることで行えます。

$y = (-x)^2 + 2(-x) + 1$

$y = x^2 - 2x + 1$

3. 最終的な答え

$y = x^2 - 2x + 1$