2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したところ、頂点の座標が $(3, 1)$ になった。定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax + b$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したところ、頂点の座標が $(3, 1)$ になった。定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平行移動後の関数の式を求める。$x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ 平行移動するとは、$x$ を $x - 2$ に、$y$ を $y + 1$ に置き換えることである。したがって、平行移動後の関数の式は、

$y + 1 = (x - 2)^2 + a(x - 2) + b$

$y = (x - 2)^2 + a(x - 2) + b - 1$

$y = x^2 - 4x + 4 + ax - 2a + b - 1$

$y = x^2 + (a - 4)x + (3 - 2a + b)$

次に、この関数の頂点の座標を求める。平方完成を行う。

$y = x^2 + (a - 4)x + (3 - 2a + b)$

$y = (x + \frac{a - 4}{2})^2 - (\frac{a - 4}{2})^2 + (3 - 2a + b)$

$y = (x + \frac{a - 4}{2})^2 - \frac{a^2 - 8a + 16}{4} + 3 - 2a + b$

したがって、頂点の $x$ 座標は $-\frac{a - 4}{2}$、頂点の $y$ 座標は $-\frac{a^2 - 8a + 16}{4} + 3 - 2a + b$ である。

問題文より、頂点の座標は $(3, 1)$ であるから、

$-\frac{a - 4}{2} = 3$

$-\frac{a^2 - 8a + 16}{4} + 3 - 2a + b = 1$

最初の式から、

$-a + 4 = 6$

$a = -2$

次の式に $a = -2$ を代入すると、

$-\frac{(-2)^2 - 8(-2) + 16}{4} + 3 - 2(-2) + b = 1$

$-\frac{4 + 16 + 16}{4} + 3 + 4 + b = 1$

$-\frac{36}{4} + 7 + b = 1$

$-9 + 7 + b = 1$

$-2 + b = 1$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -2$

$b = 3$