放物線 $y = x^2 + ax + b$ を、x軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動したところ、頂点の座標が $(3, 1)$ になった。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ を、x軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動したところ、頂点の座標が $(3, 1)$ になった。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動後の放物線の方程式を求める。

元の放物線 $y = x^2 + ax + b$ を、x軸方向に2、y軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y + 1 = (x - 2)^2 + a(x - 2) + b$

$y = (x - 2)^2 + a(x - 2) + b - 1$

$y = x^2 - 4x + 4 + ax - 2a + b - 1$

$y = x^2 + (a - 4)x + b - 2a + 3$

(2) 平行移動後の放物線の頂点の座標を求める。

平方完成を行う。

$y = x^2 + (a - 4)x + b - 2a + 3$

$y = \left(x + \frac{a - 4}{2}\right)^2 - \left(\frac{a - 4}{2}\right)^2 + b - 2a + 3$

$y = \left(x + \frac{a - 4}{2}\right)^2 - \frac{(a - 4)^2}{4} + b - 2a + 3$

頂点の座標は $\left(-\frac{a - 4}{2}, -\frac{(a - 4)^2}{4} + b - 2a + 3\right)$ となる。

(3) 頂点の座標が $(3, 1)$ であることから、連立方程式を立てる。

$\begin{cases}

-\frac{a - 4}{2} = 3 \\

-\frac{(a - 4)^2}{4} + b - 2a + 3 = 1

\end{cases}$

1つ目の式より、

$-a + 4 = 6$

$a = -2$

2つ目の式に $a = -2$ を代入する。

$-\frac{(-2 - 4)^2}{4} + b - 2(-2) + 3 = 1$

$-\frac{(-6)^2}{4} + b + 4 + 3 = 1$

$-\frac{36}{4} + b + 7 = 1$

$-9 + b + 7 = 1$

$b - 2 = 1$

$b = 3$

3. 最終的な答え

$a = -2$, $b = 3$