2次関数 $y = -2x^2 + 8x + 5$ について、以下の問いに答えます。 (1) グラフの頂点の座標を求めます。 (2) 定義域が $3 \le x \le 5$ であるとき、最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2 + 8x + 5$ について、以下の問いに答えます。

(1) グラフの頂点の座標を求めます。

(2) 定義域が $3 \le x \le 5$ であるとき、最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求めます。

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -2x^2 + 8x + 5$

$y = -2(x^2 - 4x) + 5$

$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = -2((x - 2)^2 - 4) + 5$

$y = -2(x - 2)^2 + 8 + 5$

$y = -2(x - 2)^2 + 13$

したがって、頂点の座標は $(2, 13)$ です。

(2) 定義域 $3 \le x \le 5$ における最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ であり、これは定義域に含まれていません。

グラフは上に凸であるため、$x$ が頂点から離れるほど $y$ の値は小さくなります。

$x = 3$ のとき:

$y = -2(3 - 2)^2 + 13 = -2(1) + 13 = 11$

$x = 5$ のとき:

$y = -2(5 - 2)^2 + 13 = -2(9) + 13 = -18 + 13 = -5$

したがって、定義域 $3 \le x \le 5$ において、

$x = 3$ のとき最大値 $11$ をとり、

$x = 5$ のとき最小値 $-5$ をとります。

3. 最終的な答え

セ: 2

ソタ: 13

チ: 3

ツテ: 11

ト: 5

ナニ: -5