関数 $f(x) = x^2 - 2k(k+1)x + 1$ が $-2 \le f(1) \le 2$ を満たしている。 (1) 実数 $k$ の値の範囲を求める。 (2) $0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値 $M$ を $k$ の式で表す。 (3) $M$ の最小値を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2k(k+1)x + 1$ が $-2 \le f(1) \le 2$ を満たしている。

(1) 実数 $k$ の値の範囲を求める。

(2) $0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値 $M$ を $k$ の式で表す。

(3) $M$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(1)$ を計算する。

$f(1) = 1^2 - 2k(k+1)(1) + 1 = 1 - 2k^2 - 2k + 1 = -2k^2 - 2k + 2$.

$-2 \le f(1) \le 2$ より、 $-2 \le -2k^2 - 2k + 2 \le 2$。

まず、$-2 \le -2k^2 - 2k + 2$ から、

$2k^2 + 2k - 4 \le 0$.

$k^2 + k - 2 \le 0$.

$(k+2)(k-1) \le 0$.

$-2 \le k \le 1$.

次に、$-2k^2 - 2k + 2 \le 2$ から、

$-2k^2 - 2k \le 0$.

$2k^2 + 2k \ge 0$.

$k^2 + k \ge 0$.

$k(k+1) \ge 0$.

$k \le -1$ または $k \ge 0$.

したがって、$k$ の範囲は $-2 \le k \le -1$ または $0 \le k \le 1$.

(2) $f(x) = x^2 - 2k(k+1)x + 1$ を平方完成する。

$f(x) = (x - k(k+1))^2 - (k(k+1))^2 + 1 = (x - k(k+1))^2 - k^2(k+1)^2 + 1$.

軸は $x = k(k+1) = k^2 + k$.

$0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値 $M$ を求める。

$k^2 + k$ の値を考慮して場合分けをする。

(i) $k^2 + k < 0$, つまり $-1 < k < 0$ のとき、軸は区間の左側にあるので、$f(x)$ は区間内で単調増加である。したがって、$M = f(4) = 16 - 8k(k+1) + 1 = -8k^2 - 8k + 17$.

(ii) $0 \le k^2 + k \le 4$ のとき、$f(x)$ は $x = k(k+1)$ で最小値を取る。$f(0)$ と $f(4)$ を比較する必要がある。

$k^2 + k \ge 0$ は $k \le -1$ または $k \ge 0$ で成り立つ。

$k^2 + k \le 4$ は $k^2 + k - 4 \le 0$. 解の公式より、 $k = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

したがって、$\frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \le k \le \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

$M = \max\{f(0), f(4)\}$.

$f(0) = 1$, $f(4) = -8k^2 - 8k + 17$.

(iii) $k^2 + k > 4$ のとき、軸は区間の右側にあるので、$f(x)$ は区間内で単調減少である。したがって、$M = f(0) = 1$.

(3) 上記の結果から、$M$ の最小値を求める。

最終的な答え

(1) $-2 \le k \le -1$ または $0 \le k \le 1$

(2)

$k \le \frac{-1-\sqrt{17}}{2}, k \ge \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ のとき、 $M = 1$。

$\frac{-1-\sqrt{17}}{2} < k < 0, -1 < k < \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$ のとき、 $M = -8k^2 - 8k + 17$。

(3) $M$ の最小値： $1$