1. 数ベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} a \\ 1 \end{bmatrix}$ が $R^2$ の基底となるための $a$ の条件を求める。

1. 問題の内容

1. 数ベクトル $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} a \\ 1 \end{bmatrix}$ が $R^2$ の基底となるための $a$ の条件を求める。

2. 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ の核 $KerA$ の基底を一つ求める。

3. 数ベクトル $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ が $R^3$ の基底であるかどうか判定する。

4. $R^3$ 内の平面 $S = \{ \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} | x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$ について、以下の問いに答える。

(1) $S$ は $R^3$ の部分空間であることを示す。

(2) $S$ の基底を2つ求める。

(3) $S$ の次元を答える。

2. 解き方の手順

1. 2つのベクトルが $R^2$ の基底となる条件は、それらが線形独立であること、つまり、片方が他方のスカラー倍ではないことである。したがって、 $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} a \\ 1 \end{bmatrix}$ が線形独立であるためには、 $a \neq 3$ である必要がある。

$a \neq 3$

2. $KerA$ は $Ax = 0$ となるベクトル $x$ の集合である。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

これは $x_1 + 2x_2 = 0$ と同値である。したがって、$x_1 = -2x_2$ となり、

$x = \begin{bmatrix} -2x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

よって、$KerA$ の基底は $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ となる。

3. 3つのベクトルが $R^3$ の基底となるかどうかは、それらが線形独立であるかを調べればよい。

行列 $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$ の行列式を計算する。

行列式 = $1((-1) \cdot 3 - 4 \cdot 1) - 3(0 \cdot 3 - 4 \cdot 1) + 2(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = 1(-3-4) - 3(-4) + 2(1) = -7 + 12 + 2 = 7 \neq 0$

したがって、これらのベクトルは線形独立であるため、$R^3$ の基底となる。

4. (1) $S$ が $R^3$ の部分空間であることを示すためには、$S$ が以下の条件を満たすことを示す必要がある。

1. 零ベクトルが $S$ に含まれること。

2. $S$ の任意の2つのベクトル $u, v$ に対して、$u + v$ が $S$ に含まれること。

3. $S$ の任意のベクトル $u$ と任意のスカラー $c$ に対して、$cu$ が $S$ に含まれること。

1. $x_1 = x_2 = x_3 = 0$ のとき、$0 - 0 + 0 = 0$ なので、零ベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ は $S$ に含まれる。

2. $u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}, v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} \in S$ とする。このとき、$u_1 - u_2 + u_3 = 0$ かつ $v_1 - v_2 + v_3 = 0$ である。

$u+v = \begin{bmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2 \\ u_3+v_3 \end{bmatrix}$ であり、$(u_1+v_1) - (u_2+v_2) + (u_3+v_3) = (u_1 - u_2 + u_3) + (v_1 - v_2 + v_3) = 0 + 0 = 0$ となるので、$u+v \in S$。

3. $u = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix} \in S$ とし、$c$ を任意のスカラーとする。このとき、$u_1 - u_2 + u_3 = 0$ である。

$cu = \begin{bmatrix} cu_1 \\ cu_2 \\ cu_3 \end{bmatrix}$ であり、$cu_1 - cu_2 + cu_3 = c(u_1 - u_2 + u_3) = c \cdot 0 = 0$ となるので、$cu \in S$。

したがって、$S$ は $R^3$ の部分空間である。

(2) $S$ の基底を求める。$x_1 - x_2 + x_3 = 0$ より、$x_1 = x_2 - x_3$ である。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 - x_3 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = x_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

よって、$S$ の基底は $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ となる。

(3) $S$ の基底は2つのベクトルから構成されるため、$S$ の次元は2である。

3. 最終的な答え

1. $a \neq 3$

2. $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

3. 基底である

4. (1) $S$ は $R^3$ の部分空間である (証明は上記参照)

(2) $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

(3) 2