放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の頂点が $(0, 2)$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像に写っている4つの数学の問題のうち、今回は8番の問題を解きます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + bx + c$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $5$ 平行移動した放物線の頂点が $(0, 2)$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + bx + c$ を平行移動した後の式を求めます。$x$ 軸方向に $-2$ 平行移動するということは、$x$ を $x + 2$ に置き換えることを意味し、$y$ 軸方向に $5$ 平行移動するということは、$y$ を $y - 5$ に置き換えることを意味します。したがって、平行移動後の式は次のようになります。

$y - 5 = (x + 2)^2 + b(x + 2) + c$

$y = (x + 2)^2 + b(x + 2) + c + 5$

これを展開して整理します。

$y = x^2 + 4x + 4 + bx + 2b + c + 5$

$y = x^2 + (4 + b)x + (9 + 2b + c)$

この放物線の頂点の $x$ 座標は、平方完成をすることで求めることができますが、ここでは放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の軸が $x = -\frac{b}{2a}$ であることを利用します。今回の場合は、$a = 1$ であり、$x$ 座標が $0$ であることから、次の式が成り立ちます。

$-\frac{4 + b}{2} = 0$

$4 + b = 0$

$b = -4$

これで、$b$ の値が求まりました。次に、$b = -4$ を $y = x^2 + (4 + b)x + (9 + 2b + c)$ に代入します。

$y = x^2 + (4 - 4)x + (9 + 2(-4) + c)$

$y = x^2 + (9 - 8 + c)$

$y = x^2 + (1 + c)$

この放物線の頂点の $y$ 座標は $2$ であることから、次の式が成り立ちます。

$1 + c = 2$

$c = 1$

これで、$c$ の値が求まりました。

3. 最終的な答え

$b = -4$

$c = 1$