$\omega^3 = 1$ かつ $\omega \neq 1$ のとき、$\omega^{17} + \frac{1}{\omega^{17}} - 1$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\omega^3 = 1$ かつ $\omega \neq 1$ のとき、$\omega^{17} + \frac{1}{\omega^{17}} - 1$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\omega^3 = 1$ であることを利用して、$\omega^{17}$ を簡単にします。

$17 = 3 \times 5 + 2$ であるから、

$\omega^{17} = \omega^{3 \times 5 + 2} = (\omega^3)^5 \cdot \omega^2 = 1^5 \cdot \omega^2 = \omega^2$

となります。

したがって、

$\frac{1}{\omega^{17}} = \frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \frac{\omega}{1} = \omega$

となります。

よって、$\omega^{17} + \frac{1}{\omega^{17}} - 1 = \omega^2 + \omega - 1$ を計算します。

$\omega^3 - 1 = 0$ は $(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ と因数分解できます。

$\omega \neq 1$ より、$\omega - 1 \neq 0$ なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ となります。

したがって、$\omega^2 + \omega = -1$ となります。

ゆえに、$\omega^2 + \omega - 1 = -1 - 1 = -2$ となります。

3. 最終的な答え

$\omega^{17} + \frac{1}{\omega^{17}} - 1 = -2$