問題は、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = -1$ を解くことです。

1. 問題の内容

問題は、 $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、方程式 $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = -1$ を解くことです。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を合成します。

$\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = -1$

左辺を $R\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形することを考えます。ここで、$R > 0$ であり、$R \cos \alpha = 1$、$R \sin \alpha = -\sqrt{3}$ を満たす $\alpha$ を求めます。

$R^2 = 1^2 + (-\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ より、$R = 2$ です。

したがって、$\cos \alpha = \frac{1}{2}$、$\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

この条件を満たす $\alpha$ は、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$ です。

したがって、方程式は

$2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) = -1$

$\sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ です。

$\sin x = -\frac{1}{2}$ となる $x$ は、$x = \frac{7\pi}{6}$ と $x = \frac{11\pi}{6}$ です。

したがって、

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$ または $\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$ です。

$\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

しかし、$\frac{13\pi}{6} > 2\pi$ であるので、解は $\frac{3\pi}{2}$ のみです。

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}$

$\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

しかし $\theta < 2\pi = \frac{12\pi}{6}$

$2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$

$\theta = \frac{3\pi}{2}$ が $0 \le \theta < 2\pi$ を満たす。

$\theta = \frac{13\pi}{6}$ は $0 \le \theta < 2\pi$ を満たさない。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{3\pi}{2}$