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問題は2つのパートに分かれています。 パート1は、与えられた2次式を平方完成させる問題です。 パート2は、与えられた2次関数のグラフを書き、頂点を求める問題です。

代数学二次関数平方完成グラフ頂点
2025/7/13
はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は2つのパートに分かれています。
パート1は、与えられた2次式を平方完成させる問題です。
パート2は、与えられた2次関数のグラフを書き、頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

パート1：2次式の平方完成
(1) x2−4x+7x^2 - 4x + 7
x2−4xx^2 - 4xの部分を平方完成します。
x2−4x=(x−2)2−4x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
したがって、
x2−4x+7=(x−2)2−4+7=(x−2)2+3x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3
(2) −2x2−4x−6-2x^2 - 4x - 6
まず、x2x^2の係数でくくります。
−2(x2+2x)−6-2(x^2 + 2x) - 6
次に、x2+2xx^2 + 2xを平方完成します。
x2+2x=(x+1)2−1x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
したがって、
−2(x2+2x)−6=−2((x+1)2−1)−6=−2(x+1)2+2−6=−2(x+1)2−4-2(x^2 + 2x) - 6 = -2((x + 1)^2 - 1) - 6 = -2(x + 1)^2 + 2 - 6 = -2(x + 1)^2 - 4
(3) 2x2−3x+12x^2 - 3x + 1
まず、x2x^2の係数でくくります。
2(x2−32x)+12(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1
次に、x2−32xx^2 - \frac{3}{2}xを平方完成します。
x2−32x=(x−34)2−916x^2 - \frac{3}{2}x = (x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}
したがって、
2(x2−32x)+1=2((x−34)2−916)+1=2(x−34)2−98+1=2(x−34)2−182(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}
(4) 13x2−43x+73\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}
まず、x2x^2の係数でくくります。
13(x2−4x)+73\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3}
次に、x2−4xx^2 - 4xを平方完成します。
x2−4x=(x−2)2−4x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4
したがって、
13(x2−4x)+73=13((x−2)2−4)+73=13(x−2)2−43+73=13(x−2)2+1\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}((x - 2)^2 - 4) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x - 2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x - 2)^2 + 1
(5) (x+1)(x−3)=x2−2x−3(x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3
x2−2x−3=(x−1)2−1−3=(x−1)2−4x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 -1 - 3 = (x-1)^2 -4
(6) (2x+1)(3−x)=−2x2+5x+3(2x+1)(3-x) = -2x^2 +5x + 3
−2x2+5x+3=−2(x2−52x)+3=−2((x−54)2−2516)+3=−2(x−54)2+258+3=−2(x−54)2+498-2x^2 +5x + 3 = -2(x^2 -\frac{5}{2} x) + 3 = -2((x - \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{16}) + 3 = -2(x-\frac{5}{4})^2 + \frac{25}{8} + 3 = -2(x-\frac{5}{4})^2 + \frac{49}{8}
パート2：2次関数のグラフと頂点
(1) y=x2−2x+2y = x^2 - 2x + 2
平方完成すると、y=(x−1)2+1y = (x - 1)^2 + 1
頂点は (1,1)(1, 1)。グラフは下に凸。
(2) y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3
平方完成すると、y=−(x−1)2+4y = -(x - 1)^2 + 4
頂点は (1,4)(1, 4)。グラフは上に凸。
(3) y=−2x2+6x+3y = -2x^2 + 6x + 3
平方完成すると、y=−2(x−32)2+152y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{15}{2}
頂点は (32,152)(\frac{3}{2}, \frac{15}{2})。グラフは上に凸。
(4) y=12x2+2xy = \frac{1}{2}x^2 + 2x
平方完成すると、y=12(x+2)2−2y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2
頂点は (−2,−2)(-2, -2)。グラフは下に凸。

3. 最終的な答え

パート1:
(1) (x−2)2+3(x - 2)^2 + 3
(2) −2(x+1)2−4-2(x + 1)^2 - 4
(3) 2(x−34)2−182(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}
(4) 13(x−2)2+1\frac{1}{3}(x - 2)^2 + 1
(5) (x−1)2−4(x-1)^2 -4
(6) −2(x−54)2+498-2(x-\frac{5}{4})^2 + \frac{49}{8}
パート2:
(1) 頂点: (1,1)(1, 1)
(2) 頂点: (1,4)(1, 4)
(3) 頂点: (32,152)(\frac{3}{2}, \frac{15}{2})
(4) 頂点: (−2,−2)(-2, -2)

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