以下の3つの二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$) (2) $y = 3(x+1)(x-2)$ ($0 < x \le 3$) (3) $y = 2x^2 - x - 2$ ($-1 < x < 2$)

1. 問題の内容

以下の3つの二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$)

(2) $y = 3(x+1)(x-2)$ ($0 < x \le 3$)

(3) $y = 2x^2 - x - 2$ ($-1 < x < 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \le x < 1$)

* 平方完成して頂点を求める：

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2((x+1)^2 - 1) + 1 = -2(x+1)^2 + 2 + 1 = -2(x+1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$ で、上に凸な放物線。

* 範囲 $-2 \le x < 1$ におけるyの値を考える。

* $x = -1$ のとき $y = 3$

* $x = -2$ のとき $y = -2(-2+1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$

* $x = 1$ のとき $y = -2(1+1)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -5$ (ただし、$x<1$なので、$x=1$の値は含まない)

* 範囲内で最大値は $x = -1$ のときの $3$ で、最小値はない。

(2) $y = 3(x+1)(x-2)$ ($0 < x \le 3$)

* 展開して平方完成：

$y = 3(x^2 - 2x + x - 2) = 3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6$

$y = 3(x^2 - x) - 6 = 3((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 6 = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} - 6 = 3(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{27}{4}$

頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{27}{4})$ で、下に凸な放物線。

* 範囲 $0 < x \le 3$ におけるyの値を考える。

* $x = \frac{1}{2}$ のとき $y = -\frac{27}{4} = -6.75$

* $x = 3$ のとき $y = 3(3+1)(3-2) = 3(4)(1) = 12$

* $x=0$ のとき $y = 3(0+1)(0-2) = -6$ (ただし、$x>0$なので、$x=0$の値は含まない)

* 範囲内で最大値は $x = 3$ のときの $12$ で、最小値はない。

(3) $y = 2x^2 - x - 2$ ($-1 < x < 2$)

* 平方完成：

$y = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) - 2 = 2((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) - 2 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} - 2 = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{17}{8}$

頂点は $(\frac{1}{4}, -\frac{17}{8})$ で、下に凸な放物線。

* 範囲 $-1 < x < 2$ におけるyの値を考える。

* $x = \frac{1}{4}$ のとき $y = -\frac{17}{8} = -2.125$

* $x = -1$ のとき $y = 2(-1)^2 - (-1) - 2 = 2 + 1 - 2 = 1$ (ただし、$x>-1$なので、$x=-1$の値は含まない)

* $x = 2$ のとき $y = 2(2)^2 - 2 - 2 = 8 - 2 - 2 = 4$ (ただし、$x<2$なので、$x=2$の値は含まない)

* 範囲内で最大値、最小値ともに存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 3, 最小値: なし

(2) 最大値: 12, 最小値: なし

(3) 最大値: なし, 最小値: なし