## 練習60

代数学順列組み合わせ重複組み合わせ
2025/7/13
## 練習60
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1. 問題の内容

"medicine"の8文字を横一列に並べる。
(1) mがdより左側にある並べ方は何通りあるか。
(2) m, d, c, nがこの順に並ぶ並べ方は何通りあるか。
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2. 解き方の手順

(1) medicineの8文字の並べ方は全部で 8!2!2!=10080\frac{8!}{2!2!} = 10080通り (i, eがそれぞれ2回ずつ現れるため)。
mとdの位置関係に着目すると、mがdより左にある場合とdがmより左にある場合は同数である。
したがって、mがdより左にある並べ方は、全並べ方の半分である。
(2) m, d, c, nを同じ文字(例えばX)とみなして並べる。このとき、並べ方は8!2!2!=10080\frac{8!}{2!2!} = 10080通り。
次に、このXを左から順にm, d, c, nに置き換える。この置き換え方は一意に定まるので、求める並べ方は上記の通り数と同じになる。
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3. 最終的な答え

(1) 5040通り
(2) 420通り
## 練習61
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1. 問題の内容

図のような道がある地域で、AからBまで最短経路で行く。
(1) AからBまで行く方法は何通りあるか。
(2) AからCを通ってBまで行く方法は何通りあるか。
(3) AからCを通らずにBまで行く方法は何通りあるか。
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2. 解き方の手順

最短経路で行くということは、右方向と上方向への移動のみを考える。
(1) AからBまで行くには、右に5回、上に3回移動する必要がある。
したがって、全移動回数は8回であり、そのうち上に3回移動する方法を選べばよい。
これは (83)=8!3!5!=56\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!5!} = 56通りである。
(2) AからCまで行くには、右に2回、上に1回移動する必要がある。
したがって、AからCまで行く方法は(31)=3\binom{3}{1} = 3通り。
CからBまで行くには、右に3回、上に2回移動する必要がある。
したがって、CからBまで行く方法は(52)=5!2!3!=10\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = 10通り。
AからCを通ってBまで行く方法は、AからCまで行く方法とCからBまで行く方法の積である。
(3) AからBまで行く方法から、AからCを通ってBまで行く方法を引けばよい。
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3. 最終的な答え

(1) 56通り
(2) 30通り
(3) 26通り
## 練習62
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1. 問題の内容

4種類の玉から重複を許して7個の玉を選ぶ組み合わせについて考える。
(1) 選ばれない種類の玉があってもよい場合の組み合わせは何通りあるか。
(2) 各種類から1個は必ず選ぶ場合の組み合わせは何通りあるか。
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2. 解き方の手順

(1) これは重複組み合わせの問題である。4種類の玉から7個選ぶ組み合わせは、
(4+717)=(107)=(103)=1098321=120\binom{4+7-1}{7} = \binom{10}{7} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120通り。
(2) まず、4種類の玉をそれぞれ1個ずつ選ぶ。これで残りの玉は3個となる。
この3個の玉を4種類の玉から重複を許して選ぶ組み合わせは、
(4+313)=(63)=654321=20\binom{4+3-1}{3} = \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20通り。
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3. 最終的な答え

(1) 120通り
(2) 20通り

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