2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が $2 < x < 3$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つとき、実数 $a$ のとりうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が $2 < x < 3$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つとき、実数 $a$ のとりうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2ax + 4$ とおきます。$f(x) = 0$ が $2 < x < 3$ に少なくとも1つの実数解を持つ条件を考えます。

(1) $f(x) = 0$ が $2 < x < 3$ に2つの実数解を持つ場合。この場合、判別式 $D \ge 0$, 軸 $2 < a < 3$, かつ $f(2) > 0$ かつ $f(3) > 0$ が成り立ちます。

判別式 $D = (-2a)^2 - 4(1)(4) = 4a^2 - 16 \ge 0$ より、$a^2 \ge 4$ なので、$a \le -2$ または $a \ge 2$。

軸は $x = a$ なので、$2 < a < 3$。

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + 4 = 8 - 4a > 0$ より、$a < 2$。

$f(3) = 3^2 - 2a(3) + 4 = 13 - 6a > 0$ より、$a < \frac{13}{6}$。

これらを全て満たす $a$ は存在しません。

(2) $f(x) = 0$ が $2 < x < 3$ に1つの実数解を持つ場合。この場合、$f(2)f(3) < 0$ が成り立ちます。

$f(2)f(3) = (8 - 4a)(13 - 6a) < 0$

$(4a - 8)(6a - 13) < 0$

$(a - 2)(a - \frac{13}{6}) < 0$

よって、$2 < a < \frac{13}{6}$。

(3) $f(2) = 0$ の場合、$8 - 4a = 0$ より $a = 2$。このとき、$f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0$ なので、$x = 2$ は重解です。しかし、$2 < x < 3$ に解を持たないので、$a = 2$ は条件を満たしません。

(4) $f(3) = 0$ の場合、$13 - 6a = 0$ より $a = \frac{13}{6}$。このとき、$f(x) = x^2 - \frac{13}{3}x + 4 = 0$ なので、$3x^2 - 13x + 12 = 0$ となり、$(3x - 4)(x - 3) = 0$ より、$x = \frac{4}{3}$ または $x = 3$。しかし、$2 < x < 3$ に解を持たないので、$a = \frac{13}{6}$ は条件を満たしません。

したがって、$2 < a < \frac{13}{6}$ が求める範囲です。

3. 最終的な答え

$2 < a < \frac{13}{6}$