5%の食塩水50gがある。$x$gの食塩水を取り出し、その代わりに同じ重さの水を入れ、よくかき混ぜた後、再び$x$gの食塩水を取り出し、その代わりに同じ重さの水を入れました。その結果、3.2%の食塩水が50gになりました。 (1) 1回目の操作でできた食塩水の濃度を$x$を用いて表しなさい。 (2) $x$の値を求めなさい。

1. 問題の内容

5%の食塩水50gがある。$x$gの食塩水を取り出し、その代わりに同じ重さの水を入れ、よくかき混ぜた後、再び$x$gの食塩水を取り出し、その代わりに同じ重さの水を入れました。その結果、3.2%の食塩水が50gになりました。

(1) 1回目の操作でできた食塩水の濃度を$x$を用いて表しなさい。

(2) $x$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 1回目の操作後の食塩水の濃度について考えます。

もともと5%の食塩水50gには、塩が$50 \times 0.05 = 2.5$g含まれています。

1回目の操作で$x$gの食塩水を抜き出すと、抜き出す食塩の量は$0.05x$gです。

水の量を$x$g加えるので、全体の量は50gのままです。

したがって、1回目の操作後の塩の量は$2.5 - 0.05x$gとなります。

よって、1回目の操作後の濃度は、

$\frac{2.5 - 0.05x}{50} \times 100 = 5 - 0.1x$ (%)

(2) 2回目の操作について考えます。

1回目の操作後の食塩水（50g）の濃度は$(5-0.1x)$%なので、塩の量は$2.5 - 0.05x$gです。

2回目の操作で$x$gの食塩水を抜き出すと、抜き出す塩の量は$\frac{(5-0.1x)x}{100} = 0.05x - 0.001x^2$gです。

水の量を$x$g加えるので、全体の量は50gのままです。

2回目の操作後、塩の量は$2.5 - 0.05x - (0.05x - 0.001x^2) = 2.5 - 0.1x + 0.001x^2$gとなります。

このときの濃度は3.2%なので、$2.5 - 0.1x + 0.001x^2 = 50 \times 0.032 = 1.6$となります。

$0.001x^2 - 0.1x + 0.9 = 0$

$x^2 - 100x + 900 = 0$

$(x - 10)(x - 90) = 0$

$x = 10, 90$

$x$は50gを超えてはならないので、$x = 10$

3. 最終的な答え

(1) $5 - 0.1x$ (%)

(2) $x = 10$