$\sqrt{84-3n}$ が自然数となるような、自然数 $n$ の値を全て求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{84-3n}$ が自然数となるような、自然数 $n$ の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{84-3n}$ が自然数となるためには、$84-3n$ が0以上の整数の平方数でなければなりません。 つまり、$84-3n = k^2$ となる整数 $k \geq 0$ が存在します。ここで、$n$ は自然数なので、$n \geq 1$ です。

$84-3n = k^2$ より、

$3n = 84 - k^2$

$n = \frac{84-k^2}{3}$

$n$ は自然数なので、$\frac{84-k^2}{3}$ は自然数でなければなりません。

すなわち、$84-k^2$ は3の倍数である必要があります。また、$84-k^2 > 0$ である必要もあります。

$n \geq 1$ なので、

$\frac{84-k^2}{3} \geq 1$

$84 - k^2 \geq 3$

$k^2 \leq 81$

よって、$0 \leq k \leq 9$ となります。

$84-k^2$ が3の倍数になるためには、$k^2$ を3で割った余りが0でなければなりません。（84は3の倍数）

つまり、$k$ は3の倍数である必要があります。

$0 \leq k \leq 9$ の範囲で3の倍数となる $k$ は、 $k = 0, 3, 6, 9$ です。

それぞれの $k$ に対して $n$ を計算します。

* $k=0$ のとき：$n = \frac{84 - 0^2}{3} = \frac{84}{3} = 28$

* $k=3$ のとき：$n = \frac{84 - 3^2}{3} = \frac{84-9}{3} = \frac{75}{3} = 25$

* $k=6$ のとき：$n = \frac{84 - 6^2}{3} = \frac{84-36}{3} = \frac{48}{3} = 16$

* $k=9$ のとき：$n = \frac{84 - 9^2}{3} = \frac{84-81}{3} = \frac{3}{3} = 1$

したがって、$n$ の値は $1, 16, 25, 28$ となります。

3. 最終的な答え

$n = 1, 16, 25, 28$