問題は以下の3つの項目から構成されています。 (1) 対角行列どうしを掛け合わせると、結果も対角行列になることを示す。 (2) 上三角行列どうしを掛け合わせると上三角行列になり、下三角行列どうしを掛け合わせると下三角行列になることを示す。 (3) $B$ を $p \times q$ 行列とするとき、$B^T B$ と $BB^T$ が共に非負定値行列になることを示す。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの項目から構成されています。

(1) 対角行列どうしを掛け合わせると、結果も対角行列になることを示す。

(2) 上三角行列どうしを掛け合わせると上三角行列になり、下三角行列どうしを掛け合わせると下三角行列になることを示す。

(3) $B$ を $p \times q$ 行列とするとき、$B^T B$ と $BB^T$ が共に非負定値行列になることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 対角行列どうしを掛け合わせると、結果も対角行列になることを示す。

対角行列 $A$ と $B$ を考えます。

$A = (a_{ij})$, $B = (b_{ij})$ とします。ただし、

$i \neq j$ のとき、$a_{ij} = 0$ かつ $b_{ij} = 0$ が成り立ちます。

$C = AB$ とすると、$C = (c_{ij})$ であり、

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ で計算されます。

$i \neq j$ のとき、$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = a_{ii}b_{ij} + \sum_{k \neq i} a_{ik}b_{kj} = 0 + 0 = 0$ となります。

なぜなら、$i \neq j$ のとき、$b_{kj}$ は $k \neq j$ の時だけ0でなく、$a_{ik}$ は $i = k$ の時だけ0でないからです。したがって、$C$ は対角行列です。

(2) 上三角行列どうしを掛け合わせると上三角行列になり、下三角行列どうしを掛け合わせると下三角行列になることを示す。

上三角行列 $A$ と $B$ を考えます。

$A = (a_{ij})$, $B = (b_{ij})$ とします。ただし、$i > j$ のとき、$a_{ij} = 0$ かつ $b_{ij} = 0$ が成り立ちます。

$C = AB$ とすると、$C = (c_{ij})$ であり、$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ で計算されます。

$i > j$ のとき、$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ を考えます。$a_{ik} \neq 0$ ならば $i \leq k$ であり、$b_{kj} \neq 0$ ならば $k \leq j$ です。したがって、$i \leq k \leq j$ となります。

しかし、$i > j$ なので、$i \leq k \leq j$ と $i > j$ を同時に満たす $k$ は存在しません。よって、$a_{ik}b_{kj} = 0$ となり、$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = 0$ となります。

したがって、$i > j$ のとき、$c_{ij} = 0$ となるので、$C$ は上三角行列です。

下三角行列の場合も同様に証明できます。

下三角行列 $A$ と $B$ を考えます。

$A = (a_{ij})$, $B = (b_{ij})$ とします。ただし、$i < j$ のとき、$a_{ij} = 0$ かつ $b_{ij} = 0$ が成り立ちます。

$C = AB$ とすると、$C = (c_{ij})$ であり、$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ で計算されます。

$i < j$ のとき、$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ を考えます。$a_{ik} \neq 0$ ならば $i \geq k$ であり、$b_{kj} \neq 0$ ならば $k \geq j$ です。したがって、$i \geq k \geq j$ となります。

しかし、$i < j$ なので、$i \geq k \geq j$ と $i < j$ を同時に満たす $k$ は存在しません。よって、$a_{ik}b_{kj} = 0$ となり、$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} = 0$ となります。

したがって、$i < j$ のとき、$c_{ij} = 0$ となるので、$C$ は下三角行列です。

(3) $B$ を $p \times q$ 行列とするとき、$B^T B$ と $BB^T$ が共に非負定値行列になることを示す。

$B^T B$ が非負定値行列であることを示すには、任意のベクトル $x$ に対して、$x^T (B^T B) x \geq 0$ が成り立つことを示せば良いです。

$x^T (B^T B) x = (Bx)^T (Bx) = ||Bx||^2 \geq 0$ となります。

なぜなら、ベクトルのノルムの2乗は常に非負だからです。

$BB^T$ が非負定値行列であることを示すには、任意のベクトル $y$ に対して、$y^T (BB^T) y \geq 0$ が成り立つことを示せば良いです。

$y^T (BB^T) y = (B^T y)^T (B^T y) = ||B^T y||^2 \geq 0$ となります。

なぜなら、ベクトルのノルムの2乗は常に非負だからです。

3. 最終的な答え

(1) 対角行列どうしを掛けると対角行列になる。

(2) 上三角行列どうしを掛けると上三角行列になり、下三角行列どうしを掛けると下三角行列になる。

(3) $B^T B$ と $BB^T$ はともに非負定値行列となる。