(1) $x^5-1$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りを求める。 (2) $x^{2015} + x^{2014} + 1$ を $x^2 - x$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

(1) $x^5-1$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りを求める。

(2) $x^{2015} + x^{2014} + 1$ を $x^2 - x$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^5-1$ を $(x-1)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$ 、余りを $ax+b$ とすると、

$x^5 - 1 = (x-1)^2Q(x) + ax + b$

$x=1$ を代入すると、

$1^5 - 1 = (1-1)^2 Q(1) + a(1) + b$

$0 = a+b$

$b = -a$

よって、

$x^5 - 1 = (x-1)^2 Q(x) + ax - a$

$x^5 - 1 = (x-1)^2 Q(x) + a(x-1)$

両辺を $x-1$ で割ると、

$\frac{x^5 - 1}{x-1} = \frac{(x-1)^2 Q(x)}{x-1} + \frac{a(x-1)}{x-1}$

$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x-1)Q(x) + a$

$x=1$ を代入すると、

$1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = (1-1)Q(1) + a$

$5 = a$

よって、$b = -a = -5$

余りは $5x - 5$

(2)

$x^{2015} + x^{2014} + 1$ を $x^2 - x = x(x-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$ 、余りを $ax+b$ とすると、

$x^{2015} + x^{2014} + 1 = (x^2-x)Q(x) + ax + b$

$x^{2015} + x^{2014} + 1 = x(x-1)Q(x) + ax + b$

$x=0$ を代入すると、

$0^{2015} + 0^{2014} + 1 = 0(0-1)Q(0) + a(0) + b$

$1 = b$

$x=1$ を代入すると、

$1^{2015} + 1^{2014} + 1 = 1(1-1)Q(1) + a(1) + b$

$3 = a + b$

$3 = a + 1$

$a = 2$

余りは $2x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $5x - 5$

(2) $2x + 1$