縦10m、横12mの長方形の土地に、縦に2本、横に1本の同じ幅の道を作り、残りの部分を花壇とする。花壇の面積が90m²になるようにするには、道の幅を何mにすればよいか。

1. 問題の内容

縦10m、横12mの長方形の土地に、縦に2本、横に1本の同じ幅の道を作り、残りの部分を花壇とする。花壇の面積が90m²になるようにするには、道の幅を何mにすればよいか。

2. 解き方の手順

道の幅を $x$ (m)とすると、花壇は縦に $10-2x$ (m)、横に $12-x$ (m)となる。

花壇の面積は $90 m^2$なので、

$$(10-2x)(12-x) = 90$$

$$120 - 10x - 24x + 2x^2 = 90$$

$$2x^2 - 34x + 30 = 0$$

$$x^2 - 17x + 15 = 0$$

解の公式より、

$$x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(1)(15)}}{2(1)}$$

$$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 60}}{2}$$

$$x = \frac{17 \pm \sqrt{229}}{2}$$

$$x = \frac{17 \pm 15.13}{2}$$

$$x_1 = \frac{17 + 15.13}{2} = \frac{32.13}{2} = 16.065$$

$$x_2 = \frac{17 - 15.13}{2} = \frac{1.87}{2} = 0.935$$

$x$ は $10/2=5$ より小さく、$12$ より小さい必要があるため、$x=0.935$

花壇の面積を計算すると、

$10-2(0.935) = 10-1.87=8.13$

$12-0.935=11.065$

$8.13 \times 11.065 = 89.95$

これは90に近い。

$x=1$とすると

$$(10-2)(12-1)=8(11)=88$$

$x^2 - 17x + 15 = 0$

道の幅を$x$と置くと、花壇の縦の長さは$10-2x$, 横の長さは$12-x$となる。

花壇の面積が$90m^2$であるから、

$(10-2x)(12-x)=90$

$120-10x-24x+2x^2=90$

$2x^2-34x+30=0$

$x^2-17x+15=0$

解の公式より、

$x = \frac{17 \pm \sqrt{17^2 - 4(1)(15)}}{2}$

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289-60}}{2}$

$x = \frac{17 \pm \sqrt{229}}{2}$

$x = \frac{17 \pm 15.13}{2}$

$x = \frac{17 + 15.13}{2} \approx 16.065$

$x = \frac{17 - 15.13}{2} \approx 0.935$

道の幅は$0 < x < 5$であるから、$x \approx 0.935$

3. 最終的な答え

道の幅を約0.935mにすればよい。