与えられた行列 $A$ について、以下の問題を解きます。 (1) $A$ の余因子を全て求める。 (2) $\tilde{A}$ （$A$ の余因子行列）を求める。 (3) $|A|$ （$A$ の行列式）を求める。 (4) $A^{-1}$ （$A$ の逆行列）を求める。 (5) $A^{-1}A = E$ （$E$ は単位行列）を確認する。 ここで、行列 $A$ は $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$ で与えられています。

はい、この数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ について、以下の問題を解きます。

(1) $A$ の余因子を全て求める。

(2) $\tilde{A}$ （$A$ の余因子行列）を求める。

(3) $|A|$ （$A$ の行列式）を求める。

(4) $A^{-1}$ （$A$ の逆行列）を求める。

(5) $A^{-1}A = E$ （$E$ は単位行列）を確認する。

ここで、行列 $A$ は

$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

(1) 余因子の計算:

余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ の $i$ 行と $j$ 列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (0 \times 3 - 4 \times 5) = -20$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -((-1 \times 3) - (4 \times 2)) = -(-3 - 8) = 11$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (-1 \times 5 - 0 \times 2) = -5$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = -(3 \times 3 - 1 \times 5) = -(9 - 5) = -4$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3 - 1 \times 2) = 6 - 2 = 4$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = -(2 \times 5 - 3 \times 2) = -(10 - 6) = -4$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = (3 \times 4 - 1 \times 0) = 12$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -(2 \times 4 - 1 \times (-1)) = -(8 + 1) = -9$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (2 \times 0 - 3 \times (-1)) = 0 + 3 = 3$

(2) 余因子行列 $\tilde{A}$ の計算:

余因子行列は、余因子を並べた行列の転置です。

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -20 & -4 & 12 \\ 11 & 4 & -9 \\ -5 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

(3) 行列式 $|A|$ の計算:

行列式は、例えば1行目を使って展開することで計算できます。

$|A| = 2 \times C_{11} + 3 \times C_{12} + 1 \times C_{13} = 2(-20) + 3(11) + 1(-5) = -40 + 33 - 5 = -12$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ の計算:

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \tilde{A}$ で求められます。

$A^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{bmatrix} -20 & -4 & 12 \\ 11 & 4 & -9 \\ -5 & -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5/3 & 1/3 & -1 \\ -11/12 & -1/3 & 3/4 \\ 5/12 & 1/3 & -1/4 \end{bmatrix}$

(5) $A^{-1}A = E$ の確認:

$A^{-1}A = \begin{bmatrix} 5/3 & 1/3 & -1 \\ -11/12 & -1/3 & 3/4 \\ 5/12 & 1/3 & -1/4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} (10/3 - 1/3 - 2) & (5 + 0 - 5) & (5/3 + 4/3 - 3) \\ (-22/12 + 1/3 + 6/4) & (-33/12 + 0 + 15/4) & (-11/12 - 4/3 + 9/4) \\ (10/12 - 1/3 - 2/4) & (15/12 + 0 - 5/4) & (5/12 + 4/3 - 3/4) \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = E$

したがって、$A^{-1}A = E$ が確認できました。

3. 最終的な答え

(1) 余因子:

$C_{11} = -20, C_{12} = 11, C_{13} = -5, C_{21} = -4, C_{22} = 4, C_{23} = -4, C_{31} = 12, C_{32} = -9, C_{33} = 3$

(2) 余因子行列:

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} -20 & -4 & 12 \\ 11 & 4 & -9 \\ -5 & -4 & 3 \end{bmatrix}$

(3) 行列式:

$|A| = -12$

(4) 逆行列:

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 5/3 & 1/3 & -1 \\ -11/12 & -1/3 & 3/4 \\ 5/12 & 1/3 & -1/4 \end{bmatrix}$

(5) 確認:

$A^{-1}A = E$