与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 5 \\ 7 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 6 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$ \begin{vmatrix}

2 & 0 & 9 & 0 \\

0 & -2 & 0 & 5 \\

7 & 0 & 4 & 0 \\

0 & 5 & 0 & 6

\end{vmatrix} $

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、いくつかの方法が考えられますが、ここでは、まず1列目で余因子展開を行い、その後、3x3の行列式を計算します。

まず、1列目で余因子展開を行うと、以下のようになります。

$ \begin{vmatrix}

2 & 0 & 9 & 0 \\

0 & -2 & 0 & 5 \\

7 & 0 & 4 & 0 \\

0 & 5 & 0 & 6

\end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 \\ 5 & 0 & 6 \end{vmatrix} - 0 + 7 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 9 & 0 \\ -2 & 0 & 5 \\ 5 & 0 & 6 \end{vmatrix} - 0 $

次に、それぞれの3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 \\ 5 & 0 & 6 \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} - 0 + 5 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -2 \cdot (4 \cdot 6 - 0) + 5 \cdot (0 - 4 \cdot 5) = -2 \cdot 24 + 5 \cdot (-20) = -48 - 100 = -148$

$\begin{vmatrix} 0 & 9 & 0 \\ -2 & 0 & 5 \\ 5 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 0 - 9 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} + 0 = -9 \cdot ((-2) \cdot 6 - 5 \cdot 5) = -9 \cdot (-12 - 25) = -9 \cdot (-37) = 333$

したがって、元の行列の行列式は次のようになります。

$2 \cdot (-148) + 7 \cdot (333) = -296 + 2331 = 2035$

3. 最終的な答え

2035