与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、拡大行列 $[A | I]$ を基本変形して $[I | A^{-1}]$ の形に変形します。ここで、$I$ は3x3の単位行列です。

まず、拡大行列 $[A | I]$ を作ります。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

次に、この行列を簡約化します。

1. 2行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

2. 3行目から1行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & | & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 2行目を-1倍します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

4. 1行目から2行目の2倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & | & -3 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5. 1行目に3行目を足します。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

6. 2行目から3行目を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -4 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 3 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{bmatrix} -4 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -4 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$