ある2次関数のグラフをx軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-1, y軸方向に3だけ平行移動したところ、$y = 2x^2$ のグラフに重なった。もとの2次関数を求める問題です。

1. 問題の内容

ある2次関数のグラフをx軸に関して対称移動し、さらにx軸方向に-1, y軸方向に3だけ平行移動したところ、$y = 2x^2$ のグラフに重なった。もとの2次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平行移動と対称移動の逆変換を順に行うことを考えます。

1. $y = 2x^2$ のグラフを、y軸方向に-3、x軸方向に+1だけ平行移動します。平行移動の公式より、

$y + 3 = 2(x - 1)^2$

$y = 2(x - 1)^2 - 3$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2 - 3$

$y = 2x^2 - 4x - 1$

2. 次に、$y = 2x^2 - 4x - 1$ のグラフをx軸に関して対称移動します。x軸に関して対称移動すると、$y$ が $-y$ に変わるので、

$-y = 2x^2 - 4x - 1$

$y = -2x^2 + 4x + 1$

したがって、求めるもとの2次関数は $y = -2x^2 + 4x + 1$ です。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 4x + 1$