ある放物線を、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したら、放物線 $y=x^2-2x+2$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したら、放物線 $y=x^2-2x+2$ に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

最終的に得られた放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ から、逆順に移動を戻していくことを考えます。

* **ステップ1: $x$軸に関して対称移動する前の放物線を求める**

$x$軸に関して対称移動する前の放物線の方程式は、$y$を$-y$に置き換えることで得られます。

よって、

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

* **ステップ2: 平行移動する前の放物線を求める**

$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動する前の放物線を求めるには、$x$を$x+1$, $y$を$y+3$に置き換えます。

$y+3 = -(x+1)^2 + 2(x+1) - 2$

$y = -(x^2 + 2x + 1) + 2x + 2 - 2 - 3$

$y = -x^2 - 2x - 1 + 2x - 3$

$y = -x^2 - 4$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 - 4$