2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が、区間 $2 < x < 3$ に少なくとも1つの実数解を持つとき、実数 $a$ の取りうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が、区間 $2 < x < 3$ に少なくとも1つの実数解を持つとき、実数 $a$ の取りうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax + 4$ とおきます。

(1) $f(x) = 0$ が $2 < x < 3$ にただ一つの実数解を持つ場合

この場合、 $f(2)f(3) < 0$ となります。

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + 4 = 4 - 4a + 4 = 8 - 4a$

$f(3) = 3^2 - 2a(3) + 4 = 9 - 6a + 4 = 13 - 6a$

したがって、

$(8-4a)(13-6a) < 0$

$4(2-a)2(13/2 - 3a) < 0$

$(2-a)(13/2 - 3a) < 0$

$(a-2)(3a - 13/2) < 0$

$(a-2)(a - 13/6) < 0$

よって、$13/6 < a < 2$

(2) $f(x) = 0$ が重解を持ち、その重解が $2 < x < 3$ に含まれる場合

この場合、判別式 $D = 0$ であり、重解が $2 < x < 3$ を満たします。

$D/4 = a^2 - 4 = 0$ より $a = \pm 2$

重解は $x = a$ なので、$2 < a < 3$ を満たす必要があります。

$a = 2$ は $2 < a < 3$ を満たさないので、不適。

$a = -2$ も同様に不適。

(3) $f(2) = 0$ のとき

$8-4a=0$より、$a=2$

このとき$f(x) = x^2-4x+4 = (x-2)^2 = 0$。解は$x=2$となるので、$2<x<3$の範囲には解を持たない。

(4) $f(3) = 0$ のとき

$13-6a=0$より、$a=\frac{13}{6}$

このとき$f(x) = x^2 - \frac{13}{3}x + 4 = 0$。

$3x^2 - 13x + 12 = 0$

$(3x - 4)(x - 3) = 0$

$x = 4/3, 3$

$x = 3$は$2<x<3$の範囲に含まれない。$x=4/3$も含まれない。

(5) 異なる2つの解を持つ場合

$D > 0$である必要があるので、$a^2-4>0$。つまり、$a<-2$または$a>2$。このとき、解の公式より、$x=a\pm \sqrt{a^2-4}$となる。

$f(2) > 0$かつ$f(3) > 0$となる$a$の範囲を考える。

このとき、2つの解が$x\leq2$または$x\geq3$になる。

$8-4a > 0$より$a < 2$

$13-6a > 0$より$a < 13/6$

よって、$a<13/6$

よって$13/6<a<2$

3. 最終的な答え

$\frac{13}{6} < a < 2$