次の2次関数について、最大値、最小値があれば、それらを求めます。 (1) $y = x^2 - 4x - 4$ (2) $y = -x^2 + 2x - 3$ (3) $y = 3x^2 + 12x - 6$ (4) $y = 2(x - 1)(x + 4)$

はい、承知いたしました。

以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の2次関数について、最大値、最小値があれば、それらを求めます。

(1) $y = x^2 - 4x - 4$

(2) $y = -x^2 + 2x - 3$

(3) $y = 3x^2 + 12x - 6$

(4) $y = 2(x - 1)(x + 4)$

2. 解き方の手順

各2次関数を平方完成し、頂点の座標を求めます。その後、上に凸なグラフか下に凸なグラフかを判断し、最大値または最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 4x - 4$

$y = (x^2 - 4x) - 4$

$y = (x - 2)^2 - 4 - 4$

$y = (x - 2)^2 - 8$

これは下に凸なグラフなので、最小値を持ちます。

最小値は、$x = 2$のとき、$y = -8$です。最大値はありません。

(2) $y = -x^2 + 2x - 3$

$y = -(x^2 - 2x) - 3$

$y = -(x - 1)^2 + 1 - 3$

$y = -(x - 1)^2 - 2$

これは上に凸なグラフなので、最大値を持ちます。

最大値は、$x = 1$のとき、$y = -2$です。最小値はありません。

(3) $y = 3x^2 + 12x - 6$

$y = 3(x^2 + 4x) - 6$

$y = 3(x + 2)^2 - 12 - 6$

$y = 3(x + 2)^2 - 18$

これは下に凸なグラフなので、最小値を持ちます。

最小値は、$x = -2$のとき、$y = -18$です。最大値はありません。

(4) $y = 2(x - 1)(x + 4)$

$y = 2(x^2 + 4x - x - 4)$

$y = 2(x^2 + 3x - 4)$

$y = 2x^2 + 6x - 8$

$y = 2(x^2 + 3x) - 8$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} - 8$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{16}{2}$

$y = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{2}$

これは下に凸なグラフなので、最小値を持ちます。

最小値は、$x = -\frac{3}{2}$のとき、$y = -\frac{25}{2}$です。最大値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $y = -8$ ($x = 2$のとき)、最大値なし

(2) 最大値: $y = -2$ ($x = 1$のとき)、最小値なし

(3) 最小値: $y = -18$ ($x = -2$のとき)、最大値なし

(4) 最小値: $y = -\frac{25}{2}$ ($x = -\frac{3}{2}$のとき)、最大値なし