2次関数 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ のグラフが、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わる場合と、$x$軸の負の部分と異なる2点で交わる場合の、それぞれについて、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ のグラフが、$x$軸の正の部分と異なる2点で交わる場合と、$x$軸の負の部分と異なる2点で交わる場合の、それぞれについて、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 2mx + 2m + 3$ のグラフと $x$ 軸の交点に関する問題なので、判別式 $D$ を考えます。また、軸の位置や $y$ 切片の符号についても考慮する必要があります。

まず、$f(x) = x^2 + 2mx + 2m + 3$ とおきます。

(1) $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる場合

グラフが $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる条件は、以下の3つです。

* 判別式 $D > 0$

* 軸の位置 $> 0$

* $f(0) > 0$

判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(2m + 3) = 4m^2 - 8m - 12 = 4(m^2 - 2m - 3) = 4(m - 3)(m + 1)$

$D > 0$ より、$4(m - 3)(m + 1) > 0$ なので、$m < -1$ または $m > 3$ 。

軸の位置は、$x = -m$ なので、$-m > 0$ より、$m < 0$ 。

$f(0) > 0$ より、$2m + 3 > 0$ なので、$m > -\frac{3}{2}$ 。

上記の3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲は、$-\frac{3}{2} < m < -1$。

(2) $x$ 軸の負の部分と異なる2点で交わる場合

グラフが $x$ 軸の負の部分と異なる2点で交わる条件は、以下の3つです。

* 判別式 $D > 0$

* 軸の位置 $< 0$

* $f(0) > 0$

判別式 $D > 0$ より、$m < -1$ または $m > 3$ 。

軸の位置は、$x = -m$ なので、$-m < 0$ より、$m > 0$ 。

$f(0) > 0$ より、$2m + 3 > 0$ なので、$m > -\frac{3}{2}$ 。

上記の3つの条件をすべて満たす $m$ の範囲は、$m > 3$ 。

3. 最終的な答え

(1) $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わる場合：

$-\frac{3}{2} < m < -1$

(2) $x$ 軸の負の部分と異なる2点で交わる場合：

$m > 3$