関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。 $f^{-1}(5) = 4$, $f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

代数学逆関数一次関数連立方程式
2025/7/13

1. 問題の内容

関数 f(x)=ax+bf(x) = ax + b の逆関数を f1(x)f^{-1}(x) とする。
f1(5)=4f^{-1}(5) = 4, f1(5)=1f^{-1}(-5) = -1 のとき、定数 aa, bb の値を求めよ。

2. 解き方の手順

逆関数の性質より、f1(5)=4f^{-1}(5) = 4f(4)=5f(4) = 5 と同値であり、f1(5)=1f^{-1}(-5) = -1f(1)=5f(-1) = -5 と同値である。
したがって、以下の連立方程式が得られる。
f(4)=4a+b=5f(4) = 4a + b = 5
f(1)=a+b=5f(-1) = -a + b = -5
この連立方程式を解く。
一つ目の式から二つ目の式を引くと、
(4a+b)(a+b)=5(5)(4a + b) - (-a + b) = 5 - (-5)
5a=105a = 10
a=2a = 2
a=2a = 2 を二つ目の式に代入すると、
2+b=5-2 + b = -5
b=5+2b = -5 + 2
b=3b = -3

3. 最終的な答え

a=2a = 2
b=3b = -3

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