2次方程式 $x^2 - x + 7 = m(x + 1)$ が虚数解をもつような、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - x + 7 = m(x + 1)$ が虚数解をもつような、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を整理して、一般的な2次方程式の形にします。

$x^2 - x + 7 = m(x + 1)$

$x^2 - x + 7 = mx + m$

$x^2 - x - mx + 7 - m = 0$

$x^2 - (1 + m)x + (7 - m) = 0$

この2次方程式が虚数解を持つ条件は、判別式 $D$ が負であることです。判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で計算されます。今回の場合は、$a = 1$, $b = -(1 + m)$, $c = 7 - m$ です。

$D = (-(1 + m))^2 - 4(1)(7 - m)$

$D = (1 + 2m + m^2) - 4(7 - m)$

$D = 1 + 2m + m^2 - 28 + 4m$

$D = m^2 + 6m - 27$

虚数解を持つためには、$D < 0$ でなければなりません。

$m^2 + 6m - 27 < 0$

$(m + 9)(m - 3) < 0$

この不等式を満たす $m$ の範囲は、$-9 < m < 3$ です。

3. 最終的な答え

$-9 < m < 3$