与えられた3つの行列を、適切な正則行列を用いて対角化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列を、適切な正則行列を用いて対角化する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ について

* ステップ1: 固有方程式を求める。

行列 $A$ の固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ なので、

$\det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ -1 & -2-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(-2-\lambda) - (1)(-1) = 0$

$\lambda^2 - 4 + 1 = \lambda^2 - 3 = 0$

$\lambda^2 = 3$

$\lambda = \pm \sqrt{3}$

* ステップ2: 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = \sqrt{3}$ のとき:

$\begin{pmatrix} 2-\sqrt{3} & 1 \\ -1 & -2-\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(2-\sqrt{3})x + y = 0$

$y = (\sqrt{3}-2)x$

固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3}-2 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -\sqrt{3}$ のとき:

$\begin{pmatrix} 2+\sqrt{3} & 1 \\ -1 & -2+\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(2+\sqrt{3})x + y = 0$

$y = (-2-\sqrt{3})x$

固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2-\sqrt{3} \end{pmatrix}$

* ステップ3: 対角化

正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \sqrt{3}-2 & -2-\sqrt{3} \end{pmatrix}$ を用いると、

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} \end{pmatrix}$ となります。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 2 & -20 \\ 1 & -31 \\ 0 & -22 \end{pmatrix}$について。

これは正方行列ではないので対角化できません。おそらく$\begin{pmatrix} 2 & -20 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$の間違いだと仮定します。

* ステップ1: 固有方程式を求める。

行列 $A$ の固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで $A = \begin{pmatrix} 2 & -20 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ なので、

$\det \begin{pmatrix} 2-\lambda & -20 \\ 1 & -3-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)(-3-\lambda) - (-20)(1) = 0$

$\lambda^2 + \lambda + 14 = 0$

$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(14)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-55}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{55}}{2}$

* ステップ2: 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = \frac{-1 + i\sqrt{55}}{2}$ のとき:

$\begin{pmatrix} 2 - \frac{-1 + i\sqrt{55}}{2} & -20 \\ 1 & -3 - \frac{-1 + i\sqrt{55}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{5 - i\sqrt{55}}{2} & -20 \\ 1 & \frac{-5 - i\sqrt{55}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = (\frac{5 + i\sqrt{55}}{2})y$

固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} \frac{5 + i\sqrt{55}}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = \frac{-1 - i\sqrt{55}}{2}$ のとき:

$\begin{pmatrix} 2 - \frac{-1 - i\sqrt{55}}{2} & -20 \\ 1 & -3 - \frac{-1 - i\sqrt{55}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{5 + i\sqrt{55}}{2} & -20 \\ 1 & \frac{-5 + i\sqrt{55}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = (\frac{5 - i\sqrt{55}}{2})y$

固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} \frac{5 - i\sqrt{55}}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

* ステップ3: 対角化

正則行列 $P = \begin{pmatrix} \frac{5 + i\sqrt{55}}{2} & \frac{5 - i\sqrt{55}}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ を用いると、

$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \frac{-1 + i\sqrt{55}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-1 - i\sqrt{55}}{2} \end{pmatrix}$ となります。

(3) 行列 $\begin{pmatrix} 0 & -22 \\ 1 & -31 \\ 2 & -20 \end{pmatrix}$ について。

これは正方行列ではないので対角化できません。

3. 最終的な答え

(1) 対角化された行列: $\begin{pmatrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(2) 行列$\begin{pmatrix} 2 & -20 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$と仮定したときの対角化された行列: $\begin{pmatrix} \frac{-1 + i\sqrt{55}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-1 - i\sqrt{55}}{2} \end{pmatrix}$

(3) 対角化不可能