以下の2つの3次方程式を解きます。 (1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ (2) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$

はい、承知いたしました。3次方程式を解きます。

1. 問題の内容

以下の2つの3次方程式を解きます。

(1) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

(2) $x^3 - x^2 + x - 6 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ を解きます。

整数の解を探すために、定数項 $-6$ の約数 $(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6)$ を試します。

$x = 1$ を代入すると、$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となり、$x = 1$ が解であることがわかります。

したがって、$x - 1$ は $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ の因数です。

多項式除算を行うと、

$$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$$

となります。

次に、$x^2 - 5x + 6 = 0$ を解きます。これは因数分解でき、$(x - 2)(x - 3) = 0$ となります。

したがって、$x = 2, 3$ が解です。

(2)

次に、$x^3 - x^2 + x - 6 = 0$ を解きます。

整数の解を探すために、定数項 $-6$ の約数 $(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6)$ を試します。

$x = 2$ を代入すると、$8 - 4 + 2 - 6 = 0$ となり、$x = 2$ が解であることがわかります。

したがって、$x - 2$ は $x^3 - x^2 + x - 6$ の因数です。

多項式除算を行うと、

$$x^3 - x^2 + x - 6 = (x - 2)(x^2 + x + 3)$$

となります。

次に、$x^2 + x + 3 = 0$ を解きます。これは二次方程式なので、解の公式を使うと、

$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{11}}{2}$$

となります。

したがって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$ が解です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, 2, 3$

(2) $x = 2, \frac{-1 + i\sqrt{11}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{11}}{2}$