与えられた4x4行列Dの行列式 $|D|$ を求める問題です。 $D = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 3 & 14 & 4 & 9 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列Dの行列式 $|D|$ を求める問題です。

$D = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 3 & 14 & 4 & 9 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず行列を簡略化します。第1行に $-4$ を掛けて第2行に足し、第1行を引いて第3行に足し、第1行に0を掛けて第4行に足します。

これは行列式を変えない操作です。

$D' = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ 3 - 4\cdot2 & 14 - 4\cdot7 & 4 - 4\cdot1 & 9 - 4\cdot6 \\ 1 - 1\cdot2 & 4 - 1\cdot7 & 1 - 1\cdot1 & 2 - 1\cdot6 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 1 & 6 \\ -5 & -14 & 0 & -15 \\ -1 & -3 & 0 & -4 \\ -3 & -9 & 0 & -4 \end{bmatrix}$

次に、第3列に関して展開します。

$|D| = 1 \cdot \begin{vmatrix} -5 & -14 & -15 \\ -1 & -3 & -4 \\ -3 & -9 & -4 \end{vmatrix}$

さらにこの3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} -5 & -14 & -15 \\ -1 & -3 & -4 \\ -3 & -9 & -4 \end{vmatrix} = -5 \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -9 & -4 \end{vmatrix} - (-14) \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ -3 & -4 \end{vmatrix} + (-15) \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -3 & -9 \end{vmatrix}$

$= -5((-3)(-4) - (-4)(-9)) + 14((-1)(-4) - (-4)(-3)) - 15((-1)(-9) - (-3)(-3))$

$= -5(12 - 36) + 14(4 - 12) - 15(9 - 9)$

$= -5(-24) + 14(-8) - 15(0)$

$= 120 - 112 - 0$

$= 8$

したがって、

$|D| = 1 \cdot 8 = 8$

3. 最終的な答え

8