(1) 連立不等式 $\begin{cases} x+7 < 6x - 13 \\ 2x - 6 \leq 2(7 - x) \end{cases}$ の解を求める。 (2) 2つの整数 $a, b$ について、$a$ を11で割ると5余り、$b$ を11で割ると7余るとき、$a+b$ を11で割った余り、および $ab$ を11で割った余りを求める。 (3) 5つの変量 $x$ からなるデータの偏差の2乗が9, 81, 64, 25, 1 であるとき、データの標準偏差を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み、各問題について解答を作成します。

**【1】**

1. 問題の内容

(1) 連立不等式 $\begin{cases} x+7 < 6x - 13 \\ 2x - 6 \leq 2(7 - x) \end{cases}$ の解を求める。

(2) 2つの整数 $a, b$ について、$a$ を11で割ると5余り、$b$ を11で割ると7余るとき、$a+b$ を11で割った余り、および $ab$ を11で割った余りを求める。

(3) 5つの変量 $x$ からなるデータの偏差の2乗が9, 81, 64, 25, 1 であるとき、データの標準偏差を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 1つ目の不等式を解く: $x+7 < 6x-13 \Rightarrow 20 < 5x \Rightarrow x > 4$

* 2つ目の不等式を解く: $2x-6 \leq 2(7-x) \Rightarrow 2x-6 \leq 14-2x \Rightarrow 4x \leq 20 \Rightarrow x \leq 5$

* 2つの解を組み合わせる: $4 < x \leq 5$

(2)

* $a \equiv 5 \pmod{11}$, $b \equiv 7 \pmod{11}$

* $a+b \equiv 5+7 \equiv 12 \equiv 1 \pmod{11}$

* $ab \equiv 5 \times 7 \equiv 35 \equiv 2 \pmod{11}$

(3)

* 偏差の2乗の合計は $9 + 81 + 64 + 25 + 1 = 180$

* 分散は $\frac{180}{5} = 36$

* 標準偏差は $\sqrt{36} = 6$

3. 最終的な答え

(1) $4 < x \leq 5$

(2) $a+b$ を11で割った余りは1, $ab$ を11で割った余りは2

(3) 6

**【2】**

1. 問題の内容

(1) 鉄塔の高さ $PC = h$ とするとき、距離 $AC, BC$ を $h, \alpha, \beta$ を用いて表す。

(2) $\alpha = 45^\circ, \beta = 30^\circ, AB = 140m, \angle ACB = 150^\circ$ のとき、鉄塔の高さ $PC$ を小数点以下第1位まで求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $\triangle PCA$ において、$\tan \alpha = \frac{h}{AC}$ より $AC = \frac{h}{\tan \alpha}$

* $\triangle PCB$ において、$\tan \beta = \frac{h}{BC}$ より $BC = \frac{h}{\tan \beta}$

(2)

* $\triangle ABC$ において、余弦定理より $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos{150^\circ}$

* $140^2 = \left(\frac{h}{\tan 45^\circ}\right)^2 + \left(\frac{h}{\tan 30^\circ}\right)^2 - 2\left(\frac{h}{\tan 45^\circ}\right)\left(\frac{h}{\tan 30^\circ}\right) \cos{150^\circ}$

* $19600 = h^2 + 3h^2 - 2h^2 (-\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt{3}$

* $19600 = 4h^2 + \sqrt{3} h^2\sqrt{3}= h^2(4 + 3) = 7h^2$

* $h^2 = 2800 \implies h = \sqrt{2800} = 20\sqrt{7}$

* $h = 20 \times 2.646 = 52.92$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \frac{h}{\tan \alpha}, BC = \frac{h}{\tan \beta}$

(2) $PC \approx 52.9m$

**【3】**

1. 問題の内容

2次関数 $y = -4x^2 + 4px - (p+2)(p-2)$ について、以下の問題を解く。

(1) 平方完成し、$y$ の最大値を求める。

(2) グラフの $y$ 軸との共有点の $y$ 座標が -2 のときの $p$ の値を求める。

(3) (2) において $p$ が正の値をとるときの、グラフの $x$ 軸との共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $y = -4(x^2 - px) - (p^2 - 4)$

* $y = -4\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + 4 \cdot \frac{p^2}{4} - (p^2 - 4)$

* $y = -4\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + p^2 - p^2 + 4$

* $y = -4\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + 4$

* 最大値は 4

(2)

* $y$ 軸との共有点は $x=0$ のときだから、$y = -4(0)^2 + 4p(0) - (p+2)(p-2) = -(p^2 - 4) = 4-p^2$

* $4-p^2 = -2 \Rightarrow p^2 = 6 \Rightarrow p = \pm \sqrt{6}$

(3)

* $p = \sqrt{6}$ のとき、$y = -4x^2 + 4\sqrt{6}x - 2$

* $y = 0$ とおくと、 $-4x^2 + 4\sqrt{6}x - 2 = 0$

* $2x^2 - 2\sqrt{6}x + 1 = 0$

* $x = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - 4(2)(1)}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{24 - 8}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{16}}{4} = \frac{2\sqrt{6} \pm 4}{4} = \frac{\sqrt{6} \pm 2}{2}$

* $x = \frac{\sqrt{6} + 2}{2}, \frac{\sqrt{6} - 2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 4

(2) $p = \pm \sqrt{6}$

(3) $\left(\frac{\sqrt{6} + 2}{2}, 0\right), \left(\frac{\sqrt{6} - 2}{2}, 0\right)$