与えられた有理式 $ \frac{2x+11}{x^2+x-6} $ を部分分数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた有理式 $\frac{2x+11}{x^2+x-6}$ を部分分数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

したがって、与えられた式は

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)}$

と書けます。

次に、この式を部分分数に分解します。

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x+3)(x-2)$ をかけると、

$2x+11 = A(x-2) + B(x+3)$

この式が任意の $x$ に対して成り立つように、$A$ と $B$ の値を求めます。

$x = 2$ のとき

$2(2) + 11 = A(2-2) + B(2+3)$

$4+11 = 0 + 5B$

$15 = 5B$

$B = 3$

$x = -3$ のとき

$2(-3) + 11 = A(-3-2) + B(-3+3)$

$-6 + 11 = -5A + 0$

$5 = -5A$

$A = -1$

したがって、

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)} = \frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x-2}$

$= \frac{3}{x-2} - \frac{1}{x+3}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{x-2} - \frac{1}{x+3}$