$\frac{2}{x^2 - 1}$ を部分分数分解する。

1. 問題の内容

$\frac{2}{x^2 - 1}$ を部分分数分解する。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

したがって、

$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2}{(x - 1)(x + 1)}$

$\frac{2}{(x - 1)(x + 1)}$ を部分分数分解することを考えます。

$\frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

両辺に$(x - 1)(x + 1)$を掛けます。

$2 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$2 = Ax + A + Bx - B$

$2 = (A + B)x + (A - B)$

この式がすべての $x$ で成り立つためには、次の2つの式が成り立つ必要があります。

$A + B = 0$

$A - B = 2$

これらの連立方程式を解きます。

$A + B = 0$ より $A = -B$

$A - B = 2$ に $A = -B$ を代入すると

$-B - B = 2$

$-2B = 2$

$B = -1$

したがって、$A = -B = 1$

よって、

$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1} + \frac{-1}{x + 1} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$