画像には3つの問題があります。 1. 関数 $y=2\sin x \cos x - (\sin x + \cos x) + 3$ について、 (1) $\sin x + \cos x = t$ とおいて、$y$ を $t$ で表しなさい。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めなさい。 (3) $y$ の最大値と最小値を求めなさい。ただし、$x$ の値は求めなくてよい。

はい、承知いたしました。画像に示された数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には3つの問題があります。

1. 関数 $y=2\sin x \cos x - (\sin x + \cos x) + 3$ について、

(1) $\sin x + \cos x = t$ とおいて、$y$ を $t$ で表しなさい。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めなさい。

(3) $y$ の最大値と最小値を求めなさい。ただし、$x$ の値は求めなくてよい。

2. 方程式 $5^{2x+1} + 4\cdot 5^x - 1 = 0$ を解きなさい。

3. 不等式 $\log_2(1-x) + \log_2(3-x) < 1 + \log_2 3$ を解きなさい。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $\sin x + \cos x = t$ とおくと、両辺を2乗して、

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$

よって、$2\sin x \cos x = t^2 - 1$

したがって、$y = 2\sin x \cos x - (\sin x + \cos x) + 3 = (t^2 - 1) - t + 3 = t^2 - t + 2$

(2) $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$

$-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$ より、$-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2}$

したがって、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) $y = t^2 - t + 2 = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{7}{4}$

$t$ の範囲は $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ であるから、

$t = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $y = \frac{7}{4}$

$t = -\sqrt{2}$ のとき最大値 $y = (-\sqrt{2})^2 - (-\sqrt{2}) + 2 = 2 + \sqrt{2} + 2 = 4 + \sqrt{2}$

問題2

$5^{2x+1} + 4\cdot 5^x - 1 = 0$

$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$

$5^x = u$ とおくと、$5u^2 + 4u - 1 = 0$

$(5u - 1)(u + 1) = 0$

$u = \frac{1}{5}, -1$

$5^x = \frac{1}{5}$ より、$x = -1$

$5^x = -1$ は解なし

したがって、$x = -1$

問題3

$\log_2(1-x) + \log_2(3-x) < 1 + \log_2 3$

$\log_2((1-x)(3-x)) < \log_2 2 + \log_2 3 = \log_2 6$

$(1-x)(3-x) < 6$

$3 - 4x + x^2 < 6$

$x^2 - 4x - 3 < 0$

解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$

$2 - \sqrt{7} < x < 2 + \sqrt{7}$

ただし、真数条件より、$1-x > 0$ かつ $3-x > 0$。つまり、$x < 1$ かつ $x < 3$。よって、$x < 1$

したがって、$2 - \sqrt{7} < x < 1$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $y = t^2 - t + 2$

(2) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(3) 最大値 $4 + \sqrt{2}$、最小値 $\frac{7}{4}$

問題2

$x = -1$

問題3

$2 - \sqrt{7} < x < 1$