$\frac{2x+11}{x^2+x-6}$ を部分分数分解せよ。

1. 問題の内容

$\frac{2x+11}{x^2+x-6}$ を部分分数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

したがって、与えられた式は次のように書き換えられます。

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)}$

次に、部分分数分解を仮定します。

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x+3)(x-2)$ をかけます。

$2x+11 = A(x-2) + B(x+3)$

これを展開して整理します。

$2x+11 = Ax - 2A + Bx + 3B$

$2x+11 = (A+B)x + (-2A+3B)$

両辺の係数を比較します。

$A+B = 2$

$-2A + 3B = 11$

この連立方程式を解きます。まず、一つ目の式から $A = 2-B$ となり、これを二つ目の式に代入します。

$-2(2-B) + 3B = 11$

$-4 + 2B + 3B = 11$

$5B = 15$

$B = 3$

$B=3$ を $A+B = 2$ に代入すると、

$A + 3 = 2$

$A = -1$

したがって、$A = -1$ および $B = 3$ です。

部分分数分解は次のようになります。

$\frac{2x+11}{(x+3)(x-2)} = \frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x-2}$

3. 最終的な答え

$\frac{-1}{x+3} + \frac{3}{x-2}$