不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\cos 2\theta > \sin \theta$ を $0 \le \theta \le 2\pi$ の範囲で解きます。

2. 解き方の手順

$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表します。$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ なので、不等式は以下のようになります。

$1 - 2\sin^2 \theta > \sin \theta$

これを整理して、

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 < 0$

$x = \sin \theta$ と置くと、

$2x^2 + x - 1 < 0$

$(2x - 1)(x + 1) < 0$

$-1 < x < \frac{1}{2}$

したがって、

$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$

$\sin \theta = -1$ となるのは $\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき。

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるのは $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき。

$\sin \theta > -1$ となるのは、$\theta = \frac{3\pi}{2}$ 以外のすべての $\theta$。

$\sin \theta < \frac{1}{2}$ となるのは、$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta \le 2\pi$ のとき。

したがって、$-1 < \sin \theta < \frac{1}{2}$ となるのは、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}$ または $\frac{3\pi}{2} < \theta \le 2\pi$ のとき。

3. 最終的な答え

$0 \le \theta < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < \theta < \frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} < \theta \le 2\pi$