次の3つの2次関数の最大値または最小値を求めよ。 (1) $y = 2(x - 1)^2 + 3$ (2) $y = -3x^2 - 6x + 1$ (3) $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$

1. 問題の内容

次の3つの2次関数の最大値または最小値を求めよ。

(1) $y = 2(x - 1)^2 + 3$

(2) $y = -3x^2 - 6x + 1$

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2(x - 1)^2 + 3$

この関数は平方完成された形である。$(x - 1)^2$は常に0以上なので、$2(x - 1)^2$も常に0以上である。したがって、$y$は$x = 1$のときに最小値をとる。

最小値は$y = 2(1 - 1)^2 + 3 = 3$。

最大値は存在しない。

(2) $y = -3x^2 - 6x + 1$

この関数を平方完成する。

$y = -3(x^2 + 2x) + 1$

$y = -3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -3((x + 1)^2 - 1) + 1$

$y = -3(x + 1)^2 + 3 + 1$

$y = -3(x + 1)^2 + 4$

$(x + 1)^2$は常に0以上なので、$-3(x + 1)^2$は常に0以下である。したがって、$y$は$x = -1$のときに最大値をとる。

最大値は$y = -3(-1 + 1)^2 + 4 = 4$。

最小値は存在しない。

(3) $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$

この関数を平方完成する。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2x) - 1$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1$

$y = \frac{1}{2}((x - 1)^2 - 1) - 1$

$y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{2} - 1$

$y = \frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{3}{2}$

$(x - 1)^2$は常に0以上なので、$\frac{1}{2}(x - 1)^2$も常に0以上である。したがって、$y$は$x = 1$のときに最小値をとる。

最小値は$y = \frac{1}{2}(1 - 1)^2 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$。

最大値は存在しない。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 3, 最大値: なし

(2) 最大値: 4, 最小値: なし

(3) 最小値: $-\frac{3}{2}$, 最大値: なし