$V$ を $\{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\}$ を基底とするベクトル空間、$W$ を $\{w_1, w_2\}$ を基底とするベクトル空間とする。線形写像 $f: V \rightarrow W$ が $f(v_1) = w_1 + 5w_2, f(v_2) = w_1 + w_2, f(v_3) = 3w_1 + 7w_2, f(v_4) = 2w_1 + 6w_2, f(v_5) = w_1 + w_2$ で定義される。 $V$ の基底を $\{v_2, v_3, v_1, v_5, v_4\}$ に、 $W$ の基底を $\{w'_1, w'_2\}$ に変更したときの、$f$ の表現行列を求める。ただし、$w'_1 = w_1 + 5w_2, w'_2 = w_1 + w_2$ である。

1. 問題の内容

$V$ を $\{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\}$ を基底とするベクトル空間、$W$ を $\{w_1, w_2\}$ を基底とするベクトル空間とする。線形写像 $f: V \rightarrow W$ が $f(v_1) = w_1 + 5w_2, f(v_2) = w_1 + w_2, f(v_3) = 3w_1 + 7w_2, f(v_4) = 2w_1 + 6w_2, f(v_5) = w_1 + w_2$ で定義される。

$V$ の基底を $\{v_2, v_3, v_1, v_5, v_4\}$ に、 $W$ の基底を $\{w'_1, w'_2\}$ に変更したときの、$f$ の表現行列を求める。ただし、$w'_1 = w_1 + 5w_2, w'_2 = w_1 + w_2$ である。

2. 解き方の手順

まず、$f(v_2), f(v_3), f(v_1), f(v_5), f(v_4)$ をそれぞれ $w'_1$ と $w'_2$ の線形結合で表す。

$w_1 = -\frac{5}{4}w'_2 + \frac{1}{4}w'_1$

$w_2 = \frac{5}{4}w'_2 - \frac{1}{4}w'_1$

$f(v_2) = w_1 + w_2 = (-\frac{5}{4}w'_2 + \frac{1}{4}w'_1) + (\frac{5}{4}w'_2 - \frac{1}{4}w'_1) = 0 w'_1 + 0 w'_2$

$f(v_3) = 3w_1 + 7w_2 = 3(-\frac{5}{4}w'_2 + \frac{1}{4}w'_1) + 7(\frac{5}{4}w'_2 - \frac{1}{4}w'_1) = (-\frac{15}{4} + \frac{35}{4})w'_2 + (\frac{3}{4}-\frac{7}{4})w'_1 = 5w'_2 - w'_1$

$f(v_1) = w_1 + 5w_2 = (-\frac{5}{4}w'_2 + \frac{1}{4}w'_1) + 5(\frac{5}{4}w'_2 - \frac{1}{4}w'_1) = (-\frac{5}{4} + \frac{25}{4})w'_2 + (\frac{1}{4} - \frac{5}{4})w'_1 = 5w'_2 - w'_1$

$f(v_5) = w_1 + w_2 = (-\frac{5}{4}w'_2 + \frac{1}{4}w'_1) + (\frac{5}{4}w'_2 - \frac{1}{4}w'_1) = 0 w'_2 + 0 w'_1$

$f(v_4) = 2w_1 + 6w_2 = 2(-\frac{5}{4}w'_2 + \frac{1}{4}w'_1) + 6(\frac{5}{4}w'_2 - \frac{1}{4}w'_1) = (-\frac{10}{4} + \frac{30}{4})w'_2 + (\frac{2}{4}-\frac{6}{4})w'_1 = 5w'_2 - w'_1$

したがって、$f(v_2) = 0 w'_1 + 0 w'_2$, $f(v_3) = -1 w'_1 + 5 w'_2$, $f(v_1) = -1 w'_1 + 5 w'_2$, $f(v_5) = 0 w'_1 + 0 w'_2$, $f(v_4) = -1 w'_1 + 5 w'_2$

これらの係数を列ベクトルとして並べると、求める表現行列が得られる。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 5 & 5 & 0 & 5 \end{pmatrix}$