整式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが4、$x-3$ で割ると余りが9である。$P(x)$ を $(x+2)(x-3)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが4、$x-3$ で割ると余りが9である。$P(x)$ を $(x+2)(x-3)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x+2)(x-3)$ で割ったときの余りは、一般に $ax+b$ の形になる。ここで、$a$ と $b$ は定数である。したがって、

$P(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + ax + b$

と表せる。ただし、$Q(x)$ は商である。

剰余の定理より、

$P(-2) = 4$

$P(3) = 9$

が成り立つ。

上の式に $x=-2$ を代入すると、

$P(-2) = (-2+2)(-2-3)Q(-2) + a(-2) + b$

$4 = -2a + b$

同様に、$x=3$ を代入すると、

$P(3) = (3+2)(3-3)Q(3) + a(3) + b$

$9 = 3a + b$

これで、$a$ と $b$ に関する連立方程式が得られた。

$-2a + b = 4$

$3a + b = 9$

この連立方程式を解く。第2式から第1式を引くと、

$(3a + b) - (-2a + b) = 9 - 4$

$5a = 5$

$a = 1$

$a=1$ を $-2a + b = 4$ に代入すると、

$-2(1) + b = 4$

$b = 6$

したがって、求める余りは $ax+b = x+6$ である。

3. 最終的な答え

$x+6$