与えられた3つの行列を、適切な正則行列を用いて対角化する問題です。行列はそれぞれ (1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, (2) $\begin{pmatrix} 2 & -20 \\ 1 & -31 \\ 0 & -22 \end{pmatrix}$, (3) $\begin{pmatrix} 0 & -22 \\ 1 & -31 \\ 2 & -20 \end{pmatrix}$ です。ただし、(2)と(3)は2x2の行列ではなく3x2の行列に見えますが、(2)は(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)成分、(3)は(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)成分のつもりで解きます。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列を、適切な正則行列を用いて対角化する問題です。行列はそれぞれ

(1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$,

(2) $\begin{pmatrix} 2 & -20 \\ 1 & -31 \\ 0 & -22 \end{pmatrix}$,

(3) $\begin{pmatrix} 0 & -22 \\ 1 & -31 \\ 2 & -20 \end{pmatrix}$

です。ただし、(2)と(3)は2x2の行列ではなく3x2の行列に見えますが、(2)は(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)成分、(3)は(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)成分のつもりで解きます。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ の対角化

* 固有値を求める: 特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$\begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 1 & -2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)(-2 - \lambda) - 1 = \lambda^2 - 5 = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = \sqrt{5}, \lambda_2 = -\sqrt{5}$ です。

* 固有ベクトルを求める: 各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = \sqrt{5}$ のとき:

$(A - \lambda_1 I) \mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 - \sqrt{5} & 1 \\ 1 & -2 - \sqrt{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(2 - \sqrt{5})x + y = 0$ より $y = (\sqrt{5} - 2)x$ となります。

よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{5} - 2 \end{pmatrix}$ とできます。

* $\lambda_2 = -\sqrt{5}$ のとき:

$(A - \lambda_2 I) \mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 2 + \sqrt{5} & 1 \\ 1 & -2 + \sqrt{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$(2 + \sqrt{5})x + y = 0$ より $y = -(2 + \sqrt{5})x$ となります。

よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 - \sqrt{5} \end{pmatrix}$ とできます。

* 対角化: 正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \sqrt{5} - 2 & -2 - \sqrt{5} \end{pmatrix}$ を用いると、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & -\sqrt{5} \end{pmatrix}$ となります。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -20 \\ 0 & -22 \end{pmatrix}$ の対角化

* 固有値を求める: 特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$\begin{vmatrix} 2 - \lambda & -20 \\ 0 & -22 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)(-22 - \lambda) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = -22$ です。

* 固有ベクトルを求める: 各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = 2$ のとき:

$(A - \lambda_1 I) \mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 0 & -20 \\ 0 & -24 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-20y = 0$ より $y = 0$ となります。

よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ とできます。

* $\lambda_2 = -22$ のとき:

$(A - \lambda_2 I) \mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 24 & -20 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$24x - 20y = 0$ より $y = \frac{6}{5}x$ となります。

よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ とできます。

* 対角化: 正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ を用いると、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -22 \end{pmatrix}$ となります。

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -22 \\ 1 & -31 \end{pmatrix}$ の対角化

* 固有値を求める: 特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

$\begin{vmatrix} -\lambda & -22 \\ 1 & -31-\lambda \end{vmatrix} = \lambda(31 + \lambda) + 22 = \lambda^2 + 31\lambda + 22 = 0$

$\lambda = \frac{-31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \times 22}}{2} = \frac{-31 \pm \sqrt{961 - 88}}{2} = \frac{-31 \pm \sqrt{873}}{2}$

よって、固有値は $\lambda_1 = \frac{-31 + \sqrt{873}}{2}, \lambda_2 = \frac{-31 - \sqrt{873}}{2}$ です。

* 固有ベクトルを求める: 各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

* $\lambda_1 = \frac{-31 + \sqrt{873}}{2}$ のとき:

$(A - \lambda_1 I) \mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -\frac{-31 + \sqrt{873}}{2} & -22 \\ 1 & -31 - \frac{-31 + \sqrt{873}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{31 - \sqrt{873}}{2} & -22 \\ 1 & \frac{-31 - \sqrt{873}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + \frac{-31 - \sqrt{873}}{2}y = 0$

$x = \frac{31 + \sqrt{873}}{2}y$

よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} \frac{31 + \sqrt{873}}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ とできます。

* $\lambda_2 = \frac{-31 - \sqrt{873}}{2}$ のとき:

$(A - \lambda_2 I) \mathbf{v} = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -\frac{-31 - \sqrt{873}}{2} & -22 \\ 1 & -31 - \frac{-31 - \sqrt{873}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{31 + \sqrt{873}}{2} & -22 \\ 1 & \frac{-31 + \sqrt{873}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + \frac{-31 + \sqrt{873}}{2}y = 0$

$x = \frac{31 - \sqrt{873}}{2}y$

よって、固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} \frac{31 - \sqrt{873}}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ とできます。

* 対角化: 正則行列 $P = \begin{pmatrix} \frac{31 + \sqrt{873}}{2} & \frac{31 - \sqrt{873}}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ を用いると、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \frac{-31 + \sqrt{873}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-31 - \sqrt{873}}{2} \end{pmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \sqrt{5} & 0 \\ 0 & -\sqrt{5} \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ \sqrt{5} - 2 & -2 - \sqrt{5} \end{pmatrix}$

(2) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -22 \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

(3) $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} \frac{-31 + \sqrt{873}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{-31 - \sqrt{873}}{2} \end{pmatrix}$, $P = \begin{pmatrix} \frac{31 + \sqrt{873}}{2} & \frac{31 - \sqrt{873}}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$