与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 & x \\ 0 & -6 & 5 & 0 \\ 0 & x & 10 & 0 \\ x & 0 & 0 & 8 \end{vmatrix} $

了解しました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 & x \\

0 & -6 & 5 & 0 \\

0 & x & 10 & 0 \\

x & 0 & 0 & 8

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この4x4行列の行列式を計算するために、余因子展開を利用します。まず、1行に沿って余因子展開を行うと、

$\begin{vmatrix}

2 & 0 & 0 & x \\

0 & -6 & 5 & 0 \\

0 & x & 10 & 0 \\

x & 0 & 0 & 8

\end{vmatrix}

= 2 \begin{vmatrix}

-6 & 5 & 0 \\

x & 10 & 0 \\

0 & 0 & 8

\end{vmatrix}

- x \begin{vmatrix}

0 & -6 & 5 \\

0 & x & 10 \\

x & 0 & 0

\end{vmatrix}$

次に、それぞれの3x3行列の行列式を計算します。最初の3x3行列については、3行に沿って余因子展開を行うと、

$\begin{vmatrix}

-6 & 5 & 0 \\

x & 10 & 0 \\

0 & 0 & 8

\end{vmatrix} = 8 \begin{vmatrix}

-6 & 5 \\

x & 10

\end{vmatrix} = 8(-6 \cdot 10 - 5 \cdot x) = 8(-60 - 5x) = -480 - 40x$

次に、2番目の3x3行列の行列式を計算します。3行に沿って余因子展開を行うと、

$\begin{vmatrix}

0 & -6 & 5 \\

0 & x & 10 \\

x & 0 & 0

\end{vmatrix} = x \begin{vmatrix}

-6 & 5 \\

x & 10

\end{vmatrix} = x(-6 \cdot 10 - 5 \cdot x) = x(-60 - 5x) = -60x - 5x^2$

したがって、元の4x4行列の行列式は次のようになります。

$2(-480 - 40x) - x(-60x - 5x^2) = -960 - 80x + 60x^2 + 5x^3 = 5x^3 + 60x^2 - 80x - 960$

3. 最終的な答え

$5x^3 + 60x^2 - 80x - 960$