与えられた行列を適切な正則行列を用いて対角化する問題です。３つの行列について対角化を行います。

1. 問題の内容

与えられた行列を適切な正則行列を用いて対角化する問題です。３つの行列について対角化を行います。

2. 解き方の手順

行列 $A$ を対角化するには、以下の手順を踏みます。

(1) 固有値を求める。

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解き、固有値 $\lambda$ を求めます。ここで $I$ は単位行列です。

(2) 固有ベクトルを求める。

各固有値 $\lambda$ について、$(A - \lambda I) \mathbf{v} = \mathbf{0}$ を満たす固有ベクトル $\mathbf{v}$ を求めます。

(3) 対角化可能性を判定する。

行列 $A$ の線形独立な固有ベクトルの数が $A$ のサイズと等しければ、対角化可能です。

(4) 対角化する。

固有ベクトルを並べて作った行列 $P$ (正則行列) と、固有値を対角成分に並べた対角行列 $D$ を用いて、$P^{-1} A P = D$ となるように対角化します。

以下、各行列について具体的に計算します。

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ の場合

特性方程式は

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ -1 & -2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)(-2 - \lambda) - (1)(-1) = \lambda^2 - 4 + 1 = \lambda^2 - 3 = 0$

$\lambda^2 + 0\lambda - 3 = 0$

よって、固有値は $\lambda = \pm 1$ です。

$\lambda = 1$ のとき:

$(A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より $y = -x$. 固有ベクトルは $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ の定数倍。

$\lambda = -1$ のとき:

$(A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + y = 0$ より $y = -3x$. 固有ベクトルは $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ の定数倍。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \frac{1}{-3 - (-1)} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 1/2 \\ -1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$。

$D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$ の場合

特性方程式は

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & -2 & 0 \\ 1 & -3 - \lambda & 1 \\ 0 & -2 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda) \begin{vmatrix} -3 - \lambda & 1 \\ -2 & 2 - \lambda \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} + 0 = (2 - \lambda)((-3 - \lambda)(2 - \lambda) + 2) + 2(2 - \lambda) = (2 - \lambda) (\lambda^2 + \lambda - 6 + 2 + 2) = (2 - \lambda) (\lambda^2 + \lambda - 2) = (2 - \lambda)(\lambda + 2)(\lambda - 1) = 0$

よって、固有値は $\lambda = 2, 1, -2$ です。

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ の場合

特性方程式は

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -\lambda & -2 & 2 \\ 1 & -3 - \lambda & 1 \\ 2 & -2 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda \begin{vmatrix} -3 - \lambda & 1 \\ -2 & -\lambda \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -\lambda \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & -3 - \lambda \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -\lambda((3+\lambda)\lambda + 2) + 2(-\lambda - 2) + 2(-2 - 2(-3-\lambda)) = -\lambda(\lambda^2 + 3\lambda + 2) - 2\lambda - 4 + 2(-2 + 6 + 2\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 - 2\lambda - 2\lambda - 4 + 8 + 4\lambda = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 4 = -(\lambda - 1)(\lambda + 2)^2 = 0$

よって、固有値は $\lambda = 1, -2$ (重解) です。

3. 最終的な答え

(1)

対角行列: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

正則行列: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -3 \end{pmatrix}$

(2)

固有値は $\lambda = 2, 1, -2$

(3)

固有値は $\lambda = 1, -2$（重解）